CHAPITRE 1 LE LANGAGE MATHE ́MATIQUE
Ce chapitre, volontairement court, pr ́ecise les modalit ́es du raisonnement math ́ematique. En effet on n’ ́ecrit pas un texte math ́ematique comme un texte de langage courant : ce serait th ́eoriquement possible mais totalement impraticable pour de multiples raisons (le raccourci des “formules” est notamment une aide pr ́ecieuse pour l’esprit).
Une d ́efinition pr ́ecise le sens math ́ematique d’un mot ; par exemple :
D ́efinition: Un ensemble E est fini si il n’est pas en bijection avec lui-mˆeme priv ́e d’un ́element. Un ensemble est infini si il n’est pas fini.
On voit tout de suite deux difficult ́es avec cet exemple : d’abord il faut avoir d ́efini “ensemble” (ce que nous ne ferons pas) et “ˆetre en bijection” (ce qu’on fera au chapitre suivant) pour que la d ́efinition ait un sens ; ensuite il n’est pas imm ́ediat que la d ́efinition donn ́ee co ̈ıncide avec l’id ́ee intuitive que l’on a d’un ensemble fini (c’est en fait vrai).
Un ́enonc ́e math ́ematique (nous dirons simplement ́enonc ́e) est une phrase ayant un sens math ́ematique pr ́ecis (mais qui peut ˆetre vrai ou faux) ; par exemple :
(A) 1=0
(B) Pour tout nombre r ́eel x on a x2 ≥ 0
(C) x3 + x = 1 sont des ́enonc ́es ; le premier est faux, le second est vrai, la v ́eracit ́e du troisi`eme d ́epend de la valeur de la variable x. Par contre, des phrases comme “les fraises sont des fruits d ́elicieux”, “j’aime les math ́ematiques” sont clairement subjectives. L’affirmation : “l’amiante est un canc ́erog`ene provoquant environ trois mille d ́ec`es par an en France et le campus de Jussieu est floqu ́e `a l’amiante” n’est pas un ́enonc ́e math ́ematique, mˆeme si l’affirmation est exacte. Nous ne chercherons pas `a d ́efinir pr ́ecis ́ement la diff ́erence entre ́enonc ́e math ́ematique et ́enonc ́e non math ́ematique.
Un th ́eor`eme est un ́enonc ́e vrai en math ́ematique ; il peut toujours ˆetre paraphras ́e de la mani`ere suivante : “Sous les