Partie I

M¶canique analytique e

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Introduction
La m¶canique analytique n'apporte rien de conceptuellement nouveau par rapport aux formulations e standard de la dynamique newtonienne (principe fondamental, th¶orµme de l'¶nergie cin¶tique et autres e e e e points marquants de l'enseignement ¶l¶mentaire de la m¶canique), mais en constitue une formulation ee e trµs ¶l¶gante. Parfaitement adapt¶e a la description de systµmes oµ les mouvements sont sujets µ e ee e µ e u a des contraintes (un cauchemar avec les formulations \standard"), µ l'utilisation de techniques de a perturbations, ce qui explique son succµs toujours certain auprµs des astronomes, elle est souvent d'un e e usage in¯niment plus pratique que les formulations plus ¶l¶mentaires. ee Il s'agit aussi d'un cas particulier d'une approche trµs fructueuse dans des domaines vari¶s de la e e physique: une m¶thode variationnelle. En m¶canique analytique, nous ne pr¶ciserons pas les ¶quations e e e e locales que doit v¶ri¯er µ chaque instant le mouvement de la particule. Nous donnerons en fait une e a condition prescrivant µ une int¶grale portant sur l'ensemble du mouvement d'^tre extr¶male. Parmi a e e e toute les trajectoires permises par la cin¶matique, mais parfois absurdes pour la dynamique, il nous e faudra choisir la bonne en respectant cette rµgle. En fait, la description du mouvement en m¶canique e e analytique est trµs semblable a la description des rayons lumineux avec le principe de Fermat. Lµ e µ a aussi, on doit choisir parmi tous les trajets possibles celui qui rend extr¶male une int¶grale qui n'est e e autre que la dur¶e du trajet. e Surtout, et bien qu'il s'agisse d'un formalisme datant, avec Lagrange et Hamilton, de la ¯n du e e e e XVIIIµme ou du XIXµme siµcle, elle est parfaitement adapt¶e aux approches modernes de la physique. Elle joue ainsi un r^le essentiel en m¶canique statistique, elle est a l'origine de la quanti¯cation o e µ des dynamiques classiques, elle est fortement