TD 25
I) On effectue (2n+1) jets successifs et indépendants d'une pièce de monnaie équilibrée (nN). 1°) Quelle est la probabilité d'obtenir plus de pile que de face au cours des (2n+1) jets?  k  1   2 n 1  n    . (On pourra considérer le 2°) En déduire une expression simple de la somme: S   k k  n 1 2 rang d'apparition du (n+1)-ième pile.) II) Une urne contient 2n boules, 2 numéros de chaque valeur de 1 à n. On en tire 2 successivement avec remise on appelle (X,Y) les deux numéros tirés. Z=max(X,Y) ,T=min(X,Y) Donner les lois de X et Y. E(X), E(Y), V(X), V(Y) Donner les lois de Z , T, E(Z),V(Z), E(T),V(T), III) On met dans un urne a boules blanches et b boules noires. On en tire n avec remise. Chaque fois que l'on tire une blanche on appuie sur une touche . A la fin, un compteur affiche le nombre de fois où on a appuyé. Mais le compteur est déréglé, il affiche le compte exact 1 fois sur 2 et le compte +1 le reste du temps. Soit Y le nombre affiché. Donner E(Y) et V(Y) IV) Un urne contient n jetons numérotés de 1 à n. On en tire une poignée au hasard; (une poignée est une partie de {1,2,....,n}). Pour i{1,2,....,n}, on note Xi la variable aléatoire égale à 1 si le jeton i est tiré à 0 sinon. On note Z la somme des numéros tirés. 1°) Déterminer la loi de Xi. 2°) Déterminer E(Z) 3°) Donner V(Z). V) Une urne contient n boules blanches (n3) et n boules noires, toutes de taille identique. Un joueur tire ces 2n boules les unes après les autres sans remise. Il gagne 1 à chaque tirage où il tire une boule de couleur différente de la boule précédemment tirée. 1°) Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins 3. 2°) Pour k appartenant à N*, on note Xk la variable aléatoire égale à 1 si le joueur gagne 1 au kième tirage à 0 sinon. Déterminer les lois des variables Xk. 3°) On note X le gain final du joueur. Donner E(X). VI) On dispose d'un sac contenant  jetons numérotés de 1 à    4 ;   N . On dispose également de 2 urnes U1 et U2 et de  boules