Universit´ Denis Diderot (Paris VII) e ´ ` ´ Preparation a l’Agregation Interne

13 D´cembre 2008 e

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Quelques exercices sur la dualit´ e

Exercice 1. Soit E un espace vectoriel de dimension finie B, B deux bases de E. Notons P la matrice de passage de B a B . Quelle est la matrice de passage de la base duale B ∗ de B a la base duale (B )∗ ` ` de B ? Exercice 2. Soient a et b deux points distincts de K. Sur le K espace vectoriel E des polynˆmes de degr´ o e 3, on consid`re les formes lin´aires f1 : P → P (a), f2 : P → P (a), f3 : P → P (b), f4 : P → P (b). e e 1. Calculer {f1 , f2 , f3 , f4 }o (l’ensemble des P ∈ E tels que f1 (P ) = f2 (P ) = f3 (P ) = f4 (P ) = 0). 2. D´montrer que (f1 , f2 , f3 , f4 ) est une base de E ∗ . e 3. Quelle est la base de E dont (f1 , f2 , f3 , f4 ) est la base duale ? Exercice 3. Soit E un K espace vectoriel. 1. D´montrer que deux formes lin´aires sur E dont les noyaux sont ´gaux sont proportionnelles. e e e 2. Soient f1 , . . . , fk des formes lin´aires sur E et f ∈ E ∗ . D´montrer que l’on a f ∈ Vect{f1 , . . . , fk } e e k si et seulement si j=1 ker fj ⊂ ker f .

Exercice 4. Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Soit (f1 , . . . , fn ) une famille d’´l´ments de ee ∗ n E . Notons ϕ : E → K l’application x → (f1 (x), . . . , fn (x)). 1. On suppose que la famille (f1 , . . . , fn ) est une base de E ∗ . a) D´montrer que ϕ est injective. En d´duire qu’elle est bijective. e e b) D´montrer qu’il existe une base B de E telle que ϕ(B) soit la base canonique de K n . e 2. En d´duire que toute base de E ∗ est duale d’une base de E. e 3. D´montrer que l’on a les ´quivalences suivantes : e e ϕ est injective si et seulement si la famille (f1 , . . . , fn ) est g´n´ratrice ; e e ϕ est surjective si et seulement si la famille (f1 , . . . , fn ) est libre. Exercice 5. Soient E et F des espaces vectoriels de dimension finie et f une application lin´aire de E e dans F . 1. D´montrer que tf est injective si et seulement si