Le parallélépipède rectangle: Le parallélépipède rectangle possède: - Six faces rectangulaires. Chacune de ces faces peut jouer le rôle de base. - Les douze arêtes sont égales 4 à 4: quatre longueurs (AD, BC,FG, EH), quatre largeurs (AE, BF, CG, DH) et quatre hauteurs (AB, DC,HG, EF). - Les douze arêtes sont parallèles 4 à 4. - Chaque arête est perpendiculaire à deux faces opposées. Exemple: (AE) est perpendiculaires aux faces ABCD et EFGH (nous considérons dans ce cas que ces faces sont les bases du prisme, et comme les autres arêtes sont perpendiculaires aux bases...) Remarque:
Nous pouvons démontrer que les quatre diagonales intérieures sont égales et ont même milieu. Nous utiliserons les propriétés des arêtes d'un parallélépipède rectangle (deux droites parallèles définissent un plan: puisque vous travaillez dans un plan, vous pouvez donc utiliser les théorèmes permettant de démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle (fiche 9 QRECT n°1) et les propriétés des diagonales de ces rectangles ). - Démontrez que AEGC, BDHF et BCHE sont des rectangles. Il suffit de montrer qu'ils possèdent trois angles droits. Par exemple, pour AEGC: comme le côté (AE) est perpendiculaire en A et E aux plans ABCD et EFGH (une face est contenue dans un plan) alors (AE) est perpendiculaire à toutes les droites de ces plans passant par A et E. Donc (AE) est perpendiculaire à (AC) et (EG). Même raisonnement avec (CG) et la face ABCD...Comme AEGC a trois angles droits en A, C et E alors AEGC est un rectangle. Faites la même chose avec BDHF et BCHE. - Comme AEGC,est un rectangle alors ses diagonales se coupent en leur milieu et sont égales. Soit O milieu de [AG] et [EC] et AG=EC. De même avec les deux autres rectangles:
[BH] et [EC] ont même milieu et BH=EC (dans BCHE). Comme O est le milieu de [EC] alors O est aussi le milieu de [BH].
[BH] et [DF] ont même milieu et BH=DF (dans BDHF). Comme O est milieu de [BH] alors O milieu de [DF]. O est donc le