2nde
Objectifs :

MATHEMATIQUES : Eléments de correction du DNS 1
Revoir des propriétés de géométrie plane, vues au Collège.
Savoir faire des calculs avec des radicaux.
Faire le point sur ce qui a été fait sur les images et antécédents au collège.

Exercice n°1 : Une mise en équation

Livre page 220 n°52 :

Dans le triangle équilatéral ABC, la hauteur issue de A, (AH) est aussi la médiatrice de [BC],
BC 6 par conséquent le triangle ABH est rectangle en H et BH =
= = 3.
2 2
D’après le théorème de Pythagore, on a :
AH2 + BH2 = AB2
D’où
AH2 = 62  32 = 36  9 = 27
Soit
AH = 27 = 3  9 = 3  9 = 3 3
De plus, (AH) est un axe de symétrie du rectangle MNPQ, donc (MN) est parallèle à (AH).
Par conséquent, les droites (MH) et (NA) se coupent en B et (MN) est parallèle à (AH), donc d’après le théorème de Thalès :
BM BN MN x MN
=
=
Soit
=
BH BA AH
3 3 3 x3 3
On en déduit :
MN =
D’où
MN = x 3.
3
(AH) est un axe de symétrie du rectangle MNPQ et du triangle ABC, donc [BM] et [QC] sont symétriques par rapport à (AH) et BM = QC
M et Q étant deux points de [BC] :
MQ = BC  BM  QC
MQ = BC  2BM

D’où

MQ = 6 – 2BM
MQ = 6 – 2x.

MNPQ est un carré si, et seulement si, MN = MQ, donc si, et seulement si, x 3 = 6 – 2x,

x 3 = 6 – 2x  2x + x 3 = 6

x=

6 (2  3)
(2 + 3) (2 – 3)

x=

Soit

6 (2 – 3)
4–3

 x (2 + 3) = 6
 .x =

6
2+ 3

x = 6(2 – 3)
Or 6(2 – 3) ≈ 1,61 donc 6(2 – 3) est acceptable car elle appartient à l’intervalle [0 ;3]
Exercice n°2 : Voir Synthèse image/antécédent sur le blog mathasion.