les fantaisies
1971 mots
8 pages
Système de n équations à n inconnues a11x1 a12x2 a21x1 a22x2a1 x n a2 x n an1x1 a 2x 2 n an n xn bn
Ecriture matricielle du système a1 1 a 21
n
b1 b2 a1 2 a 22
a n1
n
an2 m a tric e d u s y s tè m e A
a1 n a2 n a
nn
x1 x2 b1 b2 xn
bn
v e c te u r in c o n n u x
s e c o n d m e m b re b Exemples dans
1
1
2
1
R
x1
2:
4
2
x2
R2
solution unique
1
2
x1
2
4
x2
=
p a s d e s o lu t i o n
4
5
1
1
2
2
x1 x2 s y s tè m e m a l c o n d itio n n é
3
3
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) mathématicien allemand
Le principe de cette méthode de passer d’un système plein à un autre triangulaire qui lui est équivalent :
25
5
1
x1
106.8
64 8 1
144 12 1
x2 x3 177.2
279.2
25
5
0
0
4 .8
0
1
x1
106.8
1.56
0 .7
x2 x3 96.21
0.735
1ère étape de la méthode a a
(
1
(
2
(
3
a
Pivot
(1 ) n1 a
1 )
1
1 )
1
1 )
1
(1)
21
a
(1 )
1 2
(1)
11
eq u 3
(1)
(1)
a31 / a11
a
/a
(1)
11
/a
(1 )
2 2
(1 )
3 2
a a (1 )
2 3
(1 )
3 3
a
a
equ n
n
a a equ 2
(1) n1 a 1( 13 )
(1 ) n 2
a
(1 ) n 3
(1)
11
a equ1 0 equ1 0 equ 1
0
n n x a 1( 1 )
1
x 2 a (2 1 x 3 a 3( 1 x a
b
)
)
(1 ) n n
n
a a a a a
(1)
13
( 2)
23
( 2)
33
a a a
(1)
12
( 2)
22
( 2)
32
a
(1)
1
n
( 2)
2n
( 2)
3
n
a
( 2) n2 a
( 2) n3 a
( 2) nn b
x1 x2 x3 xn (1)
1
( 2)
2
( 2)
3
b b b
( 2) n b
6
2ème étape de la méthode a 1( 1 )
1
a 1( 1 )
2
a 1( 13 )
0
0
equ3 equn 2 a 2( 2 )
2
a 3( 2 )
2 a 2( 3 )
2
a 3( 3 )
0
Pivot
a n( 2 )
2
a 2(n)3
(2)
(2)
a32 / a22 equ2
a
(2 ) n2 a 1( 1 )x 1 n ( a 22 ) x 2 n a 3( 2 ) x 3 n /a