LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS TRAVAUX GÉOMÉTRIQUES
Rappel de cours
■ D’une droite… à un cercle π 2 π –π π 2 1 0

La figure ci-contre montre: – une droite numérique d’origine A, tangente en A à un cercle trigonométrique de centre O; – un «enroulement» de la tangente sur le cercle. Ainsi, à tout nombre positif ou négatif de la droite est associé un point et un seul du cercle.

B
1 rad

O

– 1 rad A

–π 2

C

–1 –π 2

L’angle au centre kAOB associé à l’arc AB, d’origine A, d’extrémité B et de longueur 1, a pour mesure 1 radian.
■ Les fonctions cosinus et sinus

La figure ci-contre montre: 1 – un cercle trigonométrique M(xM = cos x ; yM muni d’un repère orthoyM = sin x) normé; x A – un réel x qui définit l’arc xM 1 O AM, d’origine A et d’extrémité M, et, en radian, l’angle au centre associé à cet arc. • Fonction cosinus La fonction cosinus: x cos x est définie sur . L’image de x, cos x, est l’abscisse xM du point M. Pour toute valeur de x, – 1 cos x 1. • Fonction sinus La fonction sinus: x sin x est définie sur . L’image de x, sin x, est l’ordonnée yM du point M. Pour toute valeur de x, – 1 sin x 1.

Méthode
■ Signes de cos x et sin x sur l’intervalle [0; 2p]

Les signes de cos x et sin x dépendent de la position sur le cercle de l’extrémité M de l’arc AM.

© Hatier

Quadrant I 0 Quadrant II π 2

x x x

π : cos x 2 π : cos x

0 et sin x 0 et sin x

0. 0. 0. 0.

Quadrant III π Quadrant IV 3π 2

3π : cos x 2 x 2π : cos x

0 et sin x 0 et sin x

■ Résoudre dans l’intervalle [0; 2p]

sinus Quadrant I M1 π/6 cosinus

1 Quadrant II Si x [0; 2π] et sin x = , 2 1/2 M2 5π/6 quelle est la valeur de x? π 5π O Solution: x = ou x = . 6 6 En effet, sin x 0, donc l’extrémité de l’arc défini par x Quadrant III est dans les quadrants I ou II. 1 π π 5π sin x = , donc x = ou x = π – = . 2 6 6 6

Quadrant IV

Application
■ Courbes des fonctions sinus et cosinus sur [0; 2p]

Observer les courbes représentatives de y = sin x (en