Les nombres complexes - BTS ATI

Table des matières
1 Écritures d’un nombre complexe 1.1 Forme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Forme trigonométrique et forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Formules de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Linéariser une expression 2.1 Formule de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Formules d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Équations du second degré à coefficients réels 1 1 3 5 6 6 7 7

1
1.1

Écritures d’un nombre complexe
Forme algébrique

Définition 1 Un nombre complexe est un nombre s’écrivant sous la forme z = a + ib où a ∈ R et b ∈ R et i est tel que i2 = −1. L’ensemble des nombres complexes est noté C. a est la partie réelle du nombre complexe z (notée Re(z)) et b sa partie imaginaire (notée Im(z)). Remarque 1 Dans certaines situations liées à l’électronique ou à l’électricité, on utilise la lettre j à la place de la lettre i pour éviter la confusion avec l’intensité d’un courant. Exercice 1 On considère les nombres complexes z1 = 3 + 2i et z2 = 2 − i. z1 Calculer z1 + z2 , z1 − z2 , z1 .z2 et . z2 Exercice 2 (Somme et produit dans C) Soient les nombres complexes z = 2 + 3i et z = −1 + i. Écrire les nombres complexes suivants sous la forme a + ib avec a et b deux nombres réels. a) z + z b) 2z − 3z c) z × z d) z 2 e) z 3 f) (1 + z)(1 + z )

Exercice 3 (Inverse et quotient dans C) Soient les nombres complexes z = 2 − 3i et z = −4 − i. Écrire les nombres complexes suivants sous la forme a + ib avec a et b deux nombres réels. 1

Nombres complexes - BTS - 2012/2013

a)

z 1 1 c) b) z z z Exercice 4 (Résoudre une équation) Déterminer la solution complexe de l’équation : z+1 =1+i z−1

d)

1 z2

e)

1+z 1−z

Définition 2 (Interprétation géométrique) A chaque nombre complexe, on peut associer un point du plan muni d’un repère ortho− −