SOUS-GROUPES DE (, +) On note (, +) l'ensemble  des entiers relatifs muni de l'addition usuelle. Cet ensemble ainsi constitué est un groupe car la loi + est : · une loi de composition interne (cela signifie qu'elle s'applique à des éléments de  et a pour résultat un élément de  : "(x, y) Î  ´ , x + y Î ) · associative ("(x, y, z) Î  ´  ´ , (x + y) + z = x + (y + z)) · possède un élément neutre 0 ("x Î , x + 0 = 0 + x = x) · et tout élément admet un symétrique ("x Î , $y Î  tel que x + y = y + x = 0, à savoir y = -x).

Théorème Les sous-groupes de (, +) sont de la forme (n, +) avec n Î . Démonstration : Les ensembles (n, +), n Î , sont bien des sous-groupes de (, +) puisqu'ils sont non vides (ils contiennent 0) et (a, b Î n Þ a - b Î n). Réciproquement, soit (H, +) un sous-groupe de (, +). Alors H est non vide. Si H = {0}, alors H est bien de la forme n avec n = 0. Supposons désormais H ¹ {0}. Posons : n = min{x Î H, x > 0} Î H Ç  Soit h Î H. On effectue la division euclidienne de h par n : $!(q, r) Î 2, h = nq + r avec 0  r < n Or, n Î H et H est un groupe, donc : Or, h Î H et H est un groupe, donc : nq Î H h - nq Î H rÎH Et comme 0  r < n, on a nécessairement : D'où : r=0 h = nq h Î n H Ì n Enfin, comme n Î H et H est un groupe : Finalement : n Ì H H = n
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L'ensemble d'entiers {x Î H, x > 0} est non vide (H étant un groupe, il ne peut contenir que des éléments négatifs) et minoré (par 0) donc admet bien un plus petit élément.

Les sous-groupes de (, +) sont donc bien les (n, +) avec n Î .

Sous-groupes de 

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