I. SIMPLIFICATION D’EQUATION ELECTRIQUE PAR LA METHODE ALGEBRIQUE

1.1 Postulats et théorèmes de l'algèbre de Boole

Opérations sur la même variable a + a = a a . a = a
Commutativité
a + b = b + a a . b = b . a
Associativité
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c = a + b + c a . ( b . c ) = ( a . b ) . c = a . b . c
Distributivité
a . ( b + c ) = ( a . b ) + ( a . c ) a + ( b . c ) = ( a + b ) . ( a + c )
Eléments neutres
0 + b = b a . 1 = a
Eléments absorbants
1 + b = 1 a . 0 = 0
Complémentarité
a + = 1 a . = 0
Loi d’involution
= a
Théorème de Morgan
=.
=+
Absorption du multiple a + a . b = a
Absorption de complément a + . b = a + b

1.2 Exercices d’application

Simplifier par la méthode algébrique les équations suivantes

Exercice 1
F1 = . b. + . b. c

F1 = . b. + . b. c
F1 = . b. ( + c )
F1 = . b. 1
F1 = . b

Exercice 2
F2 = . . + . . c + a .b. + a . b. c

F2 = . . + . . c + a .b. + a . b. c
F2 = . . ( + c ) + a .b. ( + c)
F2 = . . 1 + a .b. 1
F2 = . + a . b

Exercice 3
F3 = a . b . + a . b. c + a . . + a . . c

F3 = a . b . + a. b. c + a . . + a . . c
F3 = a . b .( + c ) + a . . ( + c )
F3 = a . b . 1 + a . . 1 = a . b + a .
F3 = a ( b + )
F3 = a . 1
F3 = a

Exercice 4
F4 = a . b . + . . c + a . . + a . . c

F4 = a . b . + . . c + a . . + a . . c
F4 = a . ( b + ) + . c ( + a )
F4 = a . . 1 + . c . 1
F4 = a . + . c

Exercice 5

F5 = . . c . + . b. . d + a. . c. + . . . + a. b. . d + . b. c. d + a. . .

F5 = . . c . + . b. . d + a. . c. + . . . + a. b. . d + . b. c. d + a. . .
F5 = . . ( c + ) + . b. d. ( + c) + a. . ( c + )+ a. b. . d
F5 = . . .1 + . b. d. 1 + a. . .1 + a. b. . d
F5 = . . + . b. d + a. . + a. b. . d
F5 = . ( + a. ) + b. d ( + a . )
F5 = . . 1 + b. d ( + a. )
F5 = . + b. d ( + a. )
F5 = . + b. d ( + )

1.3 Conclusion

On vient de s’apercevoir que la méthode de simplification d’équations consistant à effectuer des mises en facteur successives (logique booléenne)