Puissance à exposants fractionnaires Dans ce qui suit a et b sont strictement positifs, m et n sont strictement positifs. m ; les règles de calcul sur les puissances à exposants n € €
1
fractionnaires sont les mêmes que sur les puissances entières et les puissances . n €
€

On peut définir a p où p =

I. Définition de

€

m

On définit a p où p =

m : a n = n a m = n ( a) n m

( n ≥ 2)

€
Exple : €
1,5

(0,25)
(32)
€

0,6

€
3

= (0,25) 2 =

(0,25)

3

3

= ( 32) 5 = 5 ( 32) =

(

3

5

=

(

32

)

0,25
3

)

3

= 0,125

= 8

II. Propriétés ( p et q sont des rationnels > 0 )

€

(0)

a p = a€× a p−1€

€

€

(1)

a p × a q = a p +q

et

(2)

€

(3)

p q

p

(a )

= a pq = ( a q )

a− p =

1 ap

€ (4) €

€

a p−q =

ap aq

(5)

(ab)

p

= a ×b p et

p

(6)

 ap ap
  = p
b
b

€ Ces propriétés permettant de calculer à l’aide de la machine les expressions contenant
€
des puissances et des racines de nombres rationnels, et en particulier de nombres décimaux, qu’on utilise en pratique.
Remarque 1 : a > 0 ⇒ a p et a− p > 0 m −

m

Remarque 2 : 0 n = 0 ⇒ 0 n n’est pas défini
€
m m − n 1 = 1 ⇒ 1 n = 1 (= 10 )
€
Remarque 3 : a

€

km kn m n = a autrement dit km a km = n a m =

( a) n m

m
Remarque 4 : étant une fraction réduite n €
€
m

(−a) n n’existe pas si n est pair
€

€

€

  m
= − a n  si m est impair m   
€

(−a) n existe si n est impair  m
  n
=  a  si m est pair
  
€

Cette dernière remarque n’a pas d’incidence dans la pratique, dans la mesure où on
€
n’utilise pas des puissances de bases négatives dans les sciences.

III.

Solutions de l ‘équation x p = a ( a > 0)

Le problème a une solution unique réelle.
€
m
1
 n x p = x n = a ⇔ x = a p = a m

a>0

€

 8  5  2 × 27  3
Exercice : Ecrire l’expression 
 ×
 sous forme d’une seule puissance.
8
3 3 


€