Universit´ Claude Bernard Lyon 1 e ˆ ´ CONTROLE CONTINU NUMERO 2 –

PCSI L1 - UE Math 2 Jeudi 29 mars 2012

R`glement – L’´preuve dure 1 heure. Il est interdit d’utiliser des calculatrices et de consulter e e des notes. Les t´l´phones portables doivent ˆtre ´teints. ee e e

Question du cours – Soit g : R2 −→ R une fonction de classe C 2 sur Dg ⊂ R2 . Ecrire la formule de Taylor ` a l’ordre 2 autour de (x0 , y0 ), un point interieur de Dg . Exercice 1 – Soit f : R2 −→ R la fonction d´finie par e f (x, y) =

√ x3 + y 3 .

1. D´crire Df , le domain de d´finition de cette fonction. Faire un dessin dans le plan xy. e e 2. Calculer le gradient de f . 3. Trouver un vecteur normal au graphe de cette fonction au point (1, 2, f (1, 2)). 4. Ecrire l’´quation du plan tangent au graphe de f au point (1, 2, f (1, 2)). e e e 5. Calculer la Hessienne de f, la matrices de d´riv´es partielles secondes. 6. Ecrire la formule de Taylor de f ` l’ordre 1 autour du point (1, 2). a 7. Le point (1, 04; 1, 97) se trouve au voisinage du point (1, 2). En utilisant la formule de √ Taylor ` l’ordre 1 trouver la valeur approximative de 1, 043 + 1, 973 . a

Exercice 2 – 1. La fonction h(x, y) est d´finie sur R2 \ {(0, 0)} et satisfait les relations suivantes : e ∂h 1 = , ∂x x ∂h 1 = ∂y y

On regarde un changement de coordonn´es x = 2r cos t et y = 3r sin t. e ∂h ∂h Calculer et en fonction de r et t. ∂r ∂t 2. Soit γ : R → R2 , γ(t) = (x(t), y(t)) une application de classe C 1 . Soit F (x, y) = exy . On regarde la fonction compos´e F ◦ γ : R → R. e En sachant que γ(0) = (1, 2) et γ ′ (0) = (3, 4) trouver la valeur de dF (γ(t)) dt
′

. t=0 ( Indication. Ici, par d´finition, γ (0) est un vecteur de coordonn´es e e

dx dy , dt dt

) . t=0 1