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RÉCIPROQUE DU THÉORÈME
DE PYTHAGORE
Rappel de cours
■ Réciproque du théorème de Pythagore
• Si un triangle ABC est tel que BC2 = AB2 + AC2, alors ce triangle est rectangle en A.

• Autre formulation : « Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle et admet pour hypoténuse le plus grand des côtés. »

Méthode
■ Appliquer la réciproque du théorème de Pythagore dans le plan
Soit un triangle ABC tel que AB = 36, AC = 48 et BC = 60
(les longueurs sont exprimées en millimètres).
a. Quelle est la nature du triangle ABC ?
b. Soit H le point du segment [BC] tel que CH = 38,4. On sait de plus que AH = 28,8. Quelle est la nature du triangle AHC ?
Que représente la droite (AH) pour le triangle ABC ?
CONSEILS

Calculer les carrés des mesures de chacun des côtés du triangle considéré. Additionner les deux plus petits carrés et comparer au troisième carré.
SOLUTION

a. Calculons :
AB2 = 362 = 1296 ; AC2 = 482 = 2304 ; BC2 = 602 = 3600.
Nous remarquons que 1296 + 2304 = 3600, c’est-à-dire
AB2 + AC2 = BC2. D’après la réciproque du théorème de
Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
b. Calculons :
AH2 = 28,82 = 829,44 ;
2

CH2 = 38,42 = 1474,56 ;

2

AC = 48 = 2304.
Nous remarquons que 829,44 + 1474,56 = 2304, c’est-àdire AH2 + CH2 = AC2. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AHC est rectangle en H.
© HATIER 2009

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La droite (AH) représente donc la hauteur issue de A dans le triangle BAC.

■ Démontrer qu’un triangle n’est pas un triangle rectangle
Dans cet exercice, les longueurs sont exprimées en centimètres.
Soit un triangle ABC tel que AB = 5,7 ; AC = 8,4 et BC = 10.
Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier votre réponse.
CONSEILS

Calculer les carrés des mesures de chacun des côtés du