Devoir a la maison n°3 `

Correction

⊲ Exercice 1 Inégalité de Bernoulli Démontrer que pour tout entier naturel n et tout réel x > −1, on a (1 + x)n 1 + nx. Soit x ∈ ]−1 ; +∞[, montrons par récurrence sur n ∈ l’hypothèse de récurrence Hn : Pour tout n ∈ , (1 + x)n 1 + nx. x Initialisation : Montrons que H0 est vraie. On a (1 + x)0 = 1 et 1 + 0 × x = 1 donc (1 + x)0 1 + n0 × x et H0 est bien vraie. y Hérédité : Soit n ∈ , on suppose que l"hypothèse de récurrence est vraie jusqu’au rang n. On a donc, d’après l’hypothèse de récurrence, (1 + x)n 1 + nx. On a alors

Æ Æ

Æ

(1 + x)n On a ensuite

1 + nx ⇐⇒ (1 + x)n+1

(1 + nx)(x + 1) puisque 1 + x > 0

(1 + nx)(x + 1) = x + 1 + nx2 + nx = 1 + (n + 1)x + nx2 et, comme nx2 0, on a 1 + (n + 1)x + nx2 1 + (n + 1)x. Finalement on a (1 + x)n+1 1 + (n + 1)x. On a donc (1 + x)n+1 1 + (n + 1)x. Autrement dit Hn+1 est vraie et la propriété est héréditaire. z Conclusion : On conclut par récurrence. Pour tout n ∈ , (1 + x)n 1 + nx.

Æ

⊲

Exercice 2

Révisions sur les suites un+1 = vn = 8 − un .

Soit (un ) la suite définie par u0 = 3 et, pour tout entier naturel n : Soit (vn ) une suite définie pour tout entier naturel n par : 1. Calculer u1 , u2 , u3 puis v1 , v2 , v3 . ¶ u1 = 2 u0 + 4 = ¶ u2 = u1 + 4 = ¶ u3 = +4=
1 2 1 u 2 2 1 1 2 1 2 1 2

1 un + 4. 2
11 2 27 4 59 8 5

×3+4= × ×
11 2 27 4

+4 +4

11 . 2 27 = . 4 59 = . 8

¶ v1 = 8 − u1 = 8 − ¶ v2 = 8 − u2 = 8 − ¶ v3 = 8 − u3 = 8 −

= 2. = . =
5 4 5 . 8

2. Montrer que (vn ) est une suite géométrique et préciser sa raison. Soit n ∈ ,

Æ

vn+1 = 8 − un+1 = 8 −
1

1 un + 4 2

1 1 1 1 = 8 − un − 4 = 4 − un = (8 − un ) = vn 2 2 2 2
1

On a donc vn+1 = 2 vn , on en déduit que (vn ) est bien géométrique de raison 2 . 3. En déduire une expression de vn en fonction de n, puis de un en fonction de n. ¶ Puisque (vn ) est géométrique de raison ¶ On en déduit que, pour tout n ∈
1 2

Æ, un = 8 − 5 ×

on sait que, pour tout n ∈
1 n .