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Divisibilité, division euclidienne, congruences

Résolution de problèmes
1 Des multiples et des diviseurs
1. Le code 1 signifie « allumée » et le code 0 « éteinte ». lampe n°

étape 1

étape 2

étape 3

étape 4

étape 5

étape 6

suivantes

2

1

0

0

0

0

0

0

3

1

1

0

0

0

0

0

4

1

0

0

1

1

1

1

5

1

1

1

1

0

0

0

6

1

0

1

1

1

0

0

2. Lampe n° 12 : 12 = 1 ¥ 12 = 2 ¥ 6 = 3 ¥ 4 donc 5 changements d’état ; état final : « éteinte »
Lampe n° 25 : 25 = 1 ¥ 25 = 5 ¥ 5 donc 2 changements d’état ; état final : « allumée »
Lampe n° 68 : 68 = 1 ¥ 68 = 2 ¥ 34 = 4 ¥ 17 donc 5 changements d’état ; état final « éteinte »
Lampe n° 81 : 81 = 1 ¥ 81 = 3 ¥ 27 = 9 ¥ 9 donc 4 changements d’état ; état final « allumée »
3. Les lampes allumées à la 100e étape sont celles dont les numéros sont des carrés parfaits compris entre 1 et 100.
En effet, il faut un nombre pair de changements d’état donc un nombre pair de diviseurs positifs autres que 1, c’est-àdire un nombre impair de diviseurs.
Toute décomposition d’un entier en produit m ¥ n procure deux diviseurs distincts sauf dans le cas où m = n. Les seuls entiers strictement positifs ayant un nombre impair de diviseurs sont donc les carrés parfaits.
2 Le roi de la divisibilité !
Voir programmes sur le site Math’x.
Le nombre maximal de diviseurs est 12, atteint la première fois pour 60.
3 Code-barres : le code EAN 13
1. a. Le code est le code ISBN qui se trouve sur la page 2 du manuel.
b. S1 = 9+8+2+8+7+1=35 ; S2 = 7+2+7+0+3+6=25 ; S3 = 110 ; r = 0.
c. Son chiffre des unités.
2. a. Oui car ni S1 ni S2 ne sont modifiés.
b. Non car pour avoir la même clé, il faut que S1 + 3S2 soit identique, ce qui est impossible si un seul chiffre a changé, ou que S1 + 3S2 ait augmenté ou diminué d’un multiple de 10 ce qui est également impossible.

Chapitre 1. Divisibilité, division euclidienne, congruences

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c. Oui en compensant une augmentation d’un des chiffres par la diminution d’un autre.
Exemple : 9782278073160 et