[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1er mars 2014

Enoncés

1

Calcul matriciel

Calcul des puissances d’une matrice

Opérations sur les matrices

Exercice 6 [ 01251 ] [correction]
Calculer An pour n ∈ N et les matrices A suivantes :

Exercice 1 [ 01247 ] [correction]
Pour A ∈ Mn (K), on note σ (A) la somme des termes de A.
On pose


1 ··· 1
 .
. 
J =  . (1) . 
.
.
···

1

a) A =

1
0

1
2

b) A =

Exercice 7 [ 01252 ] [correction]
On considère la matrice

b a 

1
A= 0
0

1

Vérifier J.A.J = σ(A).J.

Exercice 2 [ 01248 ] [correction]
Pour i, j, k, ∈ {1, . . . , n}, on note Ei,j et Ek, les matrices élémentaires de
Mn (K) d’indices (i, j) et (k, ). Calculer Ei,j × Ek, .

a
0

Exercice 4 [ 01250 ] [correction]
Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (K). Montrer que

[ 00403 ]

1
A= 0
0

M= avec 0 d c b a et b + c
Pour tout n 2, on note

a c ∈ M2 (R)

a + d.
Mn =

Démontrer que, pour tout n

b d an cn bn dn 2, bn + c n

an + dn


1
1 
1

1
1
0


0
1 
1

1
1
0

de deux manières différentes.
Exercice 9 [ 01254 ] [correction]
On considère la matrice

[correction]

− sin θ cos θ

Exercice 8 [ 01253 ] [correction]
Calculer An pour

A=

∀B ∈ Mn (K), AB = BA ⇔ ∃λ ∈ K, A = λ.In
Exercice 5 X MP
Soit

cos θ sin θ

et on pose B = A − I.
Calculer B n pour n ∈ N et en déduire l’expression de An .



Exercice 3 [ 01249 ] [correction]
Soient λ1 , . . . , λn des éléments de K deux à deux distincts et D = diag(λ1 , . . . , λn ).
Déterminer les matrices de Mn (K) commutant avec D.

c) A =

−1
3

−2
4

a) Calculer A2 − 3A + 2I. En déduire que A est inversible et calculer son inverse.
b) Pour n 2, déterminer le reste de la division euclidienne de X n par
X 2 − 3X + 2.
c) En déduire l’expression de la matrice An .
Exercice 10 X MP
Soit

[correction]

1 ··· ···

 0 1
A= .

 . ... ...
.
0 ···
0

[ 02929 ]

1