Baccalauréat S France 15 juin 2007

E XERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats → → → − − − L’espace est muni du repère orthonormal O, ı ,  , k . Soient (P) et (P′ ) les plans d’équations respectives x +2y − z +1 = 0 et −x + y + z = 0. Soit A le point de coordonnées (0 ; 1 ; 1). 1. Démontrer que les plans (P) et (P′ ) sont perpendiculaires. 2. Soit (d) la droite dont une représentation paramétrique est :   x = −1 +t    3 1 où t est un nombre réel.  y = −   3  z = t 3. Calculer la distance du point A à chacun des plans (P) et (P′ ). 4. En déduire la distance du point A à la droite (d). E XERCICE 2 Commun à tous les candidats 3 points

Démontrer que les plans (P) et (P′ ) se coupent selon la droite (d).

1. Restitution organisée de connaissances Démontrer la formule d’intégration par parties en utilisant la formule de dérivation d’un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle [a ; b]. 2. Soient les deux intégrales définies par I= π 0

ex sin x dx et J =

π 0

ex cos x d.

a. Démontrer que 1 = −J et que I = J + eπ + 1. b. En déduire les valeurs exactes de I et de J. E XERCICE 3 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Partie A On considère l’équation : (E) z 3 − (4 + i)z 2 + (13 + 4i)z − 13i = 0 où z est un nombre complexe. 1. Démontrer que le nombre complexe i est solution de cette équation. 2. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z on ait : z 3 − (4 + i)z 2 + (13 + 4i)z − 13i = (z − i) az 2 + bz + c . 3. En déduire les solutions de l’équation (E). Partie B → → − − Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct O, u , v , on désigne par A, B et C les points d’affixes respectives i, 2 + 3i et 2 − 3i. 5 points

Baccalauréat S

1. Soit r la rotation de centre B et d’angle image du point A par la rotation r .

π . Déterminer l’affixe du point A′ , 4

2. Démontrer que les points A′ , B et C sont alignés et déterminer l’écriture complexe