Séance de TD n°2

Énoncés

TD n°2 : énoncé des exercices
Exercice 1
Soit f l’application définie sur R \ {−6} par f (x) =

x2 x e x+6

1. Calculer la dérivée de f .
2. Dresser le tableau de variations de f et tracer approximativement (mais pas grossièrement) sa représentation graphique sur [−8, 2]. On donne e−3 ≈ 0.0498 et e−4 ≈ 0.0183.

Exercice 2
ABCD est un rectangle, avec AB = 10 et BC = 6.
H est le milieu du segment [DC].
M est intérieur à ce rectangle, sur la médiatrice de [DC].
− −→
− −
→
On note θ l’angle (BA, BM ).
Exprimer en fonction de θ la somme M A + M B + M H.
Préciser pour quelle valeur de θ cette somme est minimum et calculer la valeur de ce minimum.

Exercice 3


On considère deux suites (réelles ou complexes) (an )n 0 et (bn )n 0 ,
an+1 = 2an + bn

4 définies par la donnée de a0 et b0 , et, pour tout entier naturel n, par les relations

a + 2bn
b
 n+1 = n
Montrer que ces deux suites convergent et calculer leur limite.
4
Indication : utiliser deux suites auxiliaires (sn )n 0 et (dn )n 0 .

Exercice 4
Dans le plan P rapporté à un repère orthonormal (O; i, j) la courbe C est la courbe représentative de la fonction exponentielle et le point A a pour coordonnées (a; b), avec b 0.
1. Quand M décrit C , montrer que la distance AM passe par un minimum absolu, pour un M0 unique de C .
2. Montrer que M0 est l’unique M de C tel que (AM ) soit orthogonale à la tangente à C en M .

Exercice 5
À chaque lancer d’une pièce équilibrée, on associe 1 si le résultat est “Pile”, et −1 sinon.
Calculer la probabilité que la somme des résultats soit nulle après n lancers (n 1).

Exercice 6
1. Notons (vn )n

1

la suite définie par v1 = 3 et vn+1 =

vn
+ 1 pour tout n n 1.

Il est clair que tous les vn sont strictement positifs.
(a) Soit n un entier, n

1. Montrer que si vn+1 < vn alors vn+2 < vn+1 .

(b) En déduire que la suite (vn )n
2. On définit la suite (un )n
Montrer que lim un = 1

1