maths dm suites
.
d) Cet algorithme détermine le rang du premier terme de la suite ( ) inférieur ou égal à 0,000001.
Il renvoie
.
e) L’algorithme ci-contre détermine le plus petit entier n1 tel que wn 10000
DEVOIR MAISON N°1 (correction)
1. On considère la suite de nombres un définie par :
u0 1 , u1
1
1
et pour tout entier naturel n , un 2 un 1 un
2
4
(
1)
)
. La suite un n’est donc pas arithmétique.
Il renvoie
.
. La suite un n’est donc pas géométrique.
2) On définit la suite vn en posant, pour tout entier naturel n :
1 vn un 1 un
2
(
a) v0
)
b)
(
(
)
2. On a
)
et
.
alors, par définition, la suite vn est géométrique de
c) raison d)
1 et de premier terme
2
( )
.
3) On définit la suite (
. Or d’après le 2.b) on a
Ainsi
)
.
»
Initialisation
. ( ) est vraie.
Supposons qu’il existe un entier
.
b)
(
Hérédité
Hypothèse de récurrence :
u wn n vn a)
On peut donc conjecturer que pour tout entier naturel non nul,
Prouvons ceci par récurrence :
) en posant, pour tout entier naturel n :
,
.
Soit ( ) : «
( )
,
tel que ( ) soit vraie, c’est-à-dire tel que
.
On a alors :
et
.
.
HR :
Donc (
) est vraie.
Conclusion
La propriété est vraie au rang 1 et est héréditaire. Donc, d’après le principe de récurrence,
( ) est vraie pour tout entier c'est-à-dire , pour tout entier naturel non
nul .