Maths fonctions
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OPERATIONS SUR LES FONCTIONSI. Fonction associée u + k Exemples : - Soit u la fonction définie sur par u(x) = x 2 Alors la fonction, définie sur , x x 2 + 5 est la fonction u + 5 . 1 - Soit v la fonction définie sur ⎤0;+∞ ⎡ par v(x) = +x. ⎦ ⎣ x Alors la fonction v − 3 est définie sur ⎤0;+∞ ⎡ par (v − 3)(x) = v(x) − 3 = ⎦ ⎣
1 x
+ x−3
Propriété : Soit un réel k et une fonction monotone u définie sur intervalle I. Les fonctions u + k et u ont le même sens de variation sur I. Démonstration : - u est croissante sur I signifie que pour tout réel a et b de I tels que a < b, on a u(a) ≤ u(b) . On ajoute k au deux membres de l'égalité et on a : u(a) + k ≤ u(b) + k , soit :
(u + k ) (a) ≤ (u + k )( b) . Ce qui signifie que u + k
est croissante sur I.
- La démonstration est analogue pour la décroissance.
Dans un repère orthogonal O;i, j , la
(
)
courbe représentative de la fonction u + k est l'image de la courbe représentative de la fonction u par la translation de vecteur k j .
Yvan Monka – m@ths et tiques – http://ymonka.free.fr/maths-‐et-‐tiques/
II. Fonction associée k u Exemples : - Soit u la fonction définie sur par u(x) = x 3 Alors la fonction, définie sur , x 2x 3 est la fonction 2u . - Soit v la fonction définie sur par v(x) = x + 1 .
Alors la fonction 3v est définie sur par (3v)(x) = 3v(x) = 3 x + 1 = 3x + 3
(
)
Propriété : Soit un réel k et une fonction monotone u définie sur intervalle I. - Si k > 0 : Les fonctions k u et u ont le même sens de variation sur I. - Si k < 0 : Les fonctions k u et u ont des sens de variation contraire sur I. Démonstration dans le cas où u croissante et k < 0 : u est croissante sur I signifie que pour tout réel a et b de I tels que a < b, on a u(a) ≤ u(b) . On multiplie les deux membres de l'égalité par k et on a : ku(a) ≥ ku(b) car k < 0. Soit : ku (a) ≥ ku b . Ce qui signifie que ku est décroissante sur I.
( )
( )( )
Exemple : On représente à l'aide la calculatrice