INTÉGRALES IMPROPRES
Prérequis : Fonctions numériques - Développements limités - Calcul intégral - Théorème de la limite monotone

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Généralités
Dans ce paragraphe K désigne R ou C.

1.1 Définition : Soient a ∈ R et b ∈ R ∪ {+∞}. Soit f : [a, b[→ K une fonction continue x par morceaux. On pose F (x) = a b

f (t) dt pour tout x ∈ [a, b[. On dit que f admet une

intégrale impropre si F (x) admet une limite quand x → b par valeurs inférieurs. On note alors a f (t) dt cette limite.

Remarque : • Si b ∈ R et si f est définie et continue par morceaux sur [a, b], alors F est continue sur [a, b] de sorte que f admet une intégrale impropre qui coïncide avec l’intégrale de f sur [a, b]. • On définit de même la notion d’intégrale impropre sur la borne inférieure de l’intervalle. Soient a ∈ R et b ∈ R. Soit f :]a, b] → R une fonction continue par morceaux. On pose x F (x) = a f (t) dt pour tout x ∈]a, b]. On dit que f admet une intégrale impropre si b F (x) admet une limite quand x → a par valeurs supérieurs. On note alors cette limite. • Remarques sur les dangers de la linéarité. Exemples : +∞ dt • converge si, et seulement si α > 1 tα 1 1 dt • converge si, et seulement si β < 1 β 0 t
+∞ a

f (t) dt

•
0 1

e−ct dt converge si, et seulement si c > 0 √
0 1

• •
0

dt π = 2 1 − t2

ln t dt = −1

1.2 Proposition : EN UNE POINT FINI b, il suffit de montrer que f tend vers une constante pour assurer la convergence de son intégrale impropre. On parle d’intégrale FAUSSEMENT impropre en b. Démonstration : En effet, dans ce cas f se prolonge en une fonction continue sur le segment [a, b]. Remarque : Ce point est très utile mais n’est pas néanmoins nécessaire : en un point 1

fini, une fonction qui tend vers l’infini peut avoir aussi une intégrale qui converge par 1 exemple ln ou √ en 0+ . De plus, en un point b = +∞, la proposition tombe en défaut. En effet l’application inverse tend vers 0 en +∞ et pourtant son intégrale impropre au