Terminale 4 – série S

Le vendredi 5 juin 2009

Devoir Surveillé n 10 ˚
Lycée Albert Thomas 2008-2009.

Géométrie – Complexe
Exercice 1
Dans un repère orthonorrnal de l’espace on considère les trois plans suivants : • P1 d’équation x + y − z = 0 • P2 d’équation 2x + y + z − 3 = 0, • P3 d’équation x + 2y − 4z + 3 = 0. 1. Justifier que les plans P1 et P2 sont sécants puis déterminer une représentation paramétrique de leur droite d’intersection, notée ∆. 2. En déduire la nature de l’intersection P1 ∩ P2 ∩ P3 .
Correction − − 1. Le vecteur →1 (1 ; 1 ; −1) est normal à P1 , →2 (2 ; 1 ; 1) est normal à P2 et ces deux vecteurs ne n n sont pas colinéaires : les deux plans sont donc sécants. Il faut résoudre : x+y−z = 0 2x + y + z − 3 = 0 ⇐⇒ x+y−z = 0 −y + 3z − 3 = 0
  x = 

5 points

⇐⇒

  x 

= −3z + 3 + z y = 3z − 3   z = z

⇐⇒

−2t + 3 y = 3t − 3   z = t

qui est une représentation paramétrique de la droite ∆ commune aux plans P1 et P2 2. u(−2; 3; 1) est un vecteur directeur de ∆ et n3 (1; 2; −4) est une vecteur normal de P3 . u.n3 = 0 signifie que ∆ est parallèle à P3 . On vérifie que le point de ∆ de coordonnées (3; −3; 0) est dans P3 . Par conséquent, ∆ est incluse dans P3 et P1 ∩ P2 ∩ P3 = ∆. Autre manière de procéder : Un point de ∆ appartient à P3 si et seulement si : −2t + 3 + 2(3t − 3) − 4(t) + 3 = 0 ⇐⇒ −2t + 6t − 4t + 3 − 6 + 3 = 0 qui est vrai quel que soit t ∈ R. Ceci signifie que tout point de ∆ appartient à P3 . Conclusion : P1 ∩ P2 ∩ P3 = ∆

Exercice 2
Pour tout cet exercice, l’espace est muni d’un repère orthonormal O ; ı ;  ; k .

8 points

1. Question de cours − Établir l’équation cartésienne d’un plan dont on connaît un vecteur normal →(a, b, c) et un n point M0 (x0 , y0 , z0 ). 2. On considère les points A(1 ; 2 ; −3), B(−3 ; 1 ; 4) et C(2 ; 6 ; −1). a) Montrer que les points A, B et C déterminent un plan.

b) Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est 2x − y + z + 3 = 0. c) Soit I le point de