AUTOUR DU NOMBRE D’OR ET DE LA SUITE DE FIBONACCI (d’après Capes Interne 1996)
I) LE NOMBRE D’OR
A) À propos de moyennes
Soient a et b deux nombres réels strictement positifs tels que a ( b. On appelle « moyenne arithmétique de a et b » le nombre réel [pic]. Le nombre réel [pic] est appelé « moyenne géométrique de a et de b » et le nombre [pic] est appelé « moyenne harmonique de a et b ».

1) Dans chacun des deux exercices suivants intervient une des moyennes introduites ci-dessus. On précisera laquelle un justifiant la réponse.
Exercice 1
Déterminer le côté d'un carré dont l’aire est égale à celle d'un rectangle donné.
Exercice 2
Un cycliste effectue la montée vers un col à une vitesse constante v1. Dès son arrivée au col, il redescend par la même route à une vitesse constante v2. Déterminer sa vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet comprenant la montée et la descente. On rappelle la définition : cette vitesse est la vitesse qu'il aurait dû maintenir s'il avait effectué le même trajet, dans le même temps et à allure constante.
Application numérique : v1 = 20 km/h et v2 = 60 km/h.

2) Montrer que : a ( h ( g ( m ( b.

3) Montrer qu'une suite [pic] de réels strictement positifs est géométrique si et seulement si, pour tout n ( 1, un est la moyenne géométrique de un – 1 et un + 1.

B) Définition du nombre d'or
1) On cherche dans cette question tous les triplets (a, b, c) de réels strictement positifs tels que a + b = c et que b soit la moyenne géométrique de a et de c.
(a., b, c) étant un tel triplet, on pose : [pic].
a) Montrer que [pic] vérifie : [pic].
b) En déduire que [pic]
[pic] est appelé le « nombre d'or » ; on notera pour la suite que : [pic] et [pic].
c) Déterminer alors tous les triplets recherchés.

2) On considère deux points A et B sur une droite euclidienne. On cherche un point C du segment [AB] tel que : [pic].
a) Montrer que si C existe, on a nécessairement [pic].
b) En déduire l'existence et l'unicité de C.