Exo7
Séries entières
Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr
* très facile

** facile

*** difficulté moyenne **** difficile
I : Incontournable

***** très difficile

Exercice 1 **
Déterminer le rayon de convergence de la série entière proposée dans chacun des cas suivants : n n
1. ∑+∞ n=1 (ln n) z
√ n n
2. ∑+∞ n=1 ( n) z
2 n
3. ∑+∞ n=0 (ln(n!)) z

4. ∑+∞ n=1 5. ∑+∞ n=1 6. ∑+∞ n=1 7. ∑+∞ n=0 1
2

ch 1n + cos 1n

n
C2n
n nn z
(ln(n!))a n z n!b n a n 1+bn z , (a, b)

n4 n z ∈ (R∗+ )2

Correction

[005745]

Exercice 2
Calculer les sommes suivantes dans leur intervalle ouvert de convergence après avoir déterminé le rayon de convergence de la série proposée.
1
n
1) (**) ∑+∞ n=2 n(n−1) x
4n

n

3n n
2) (**) ∑+∞ n=0 n+2 x

x
3) (** I) ∑+∞ n=0 2n+1

n n 4) (**) ∑+∞ n=0 (2n+1)! x
2

n
1
n +4n−1 n n 7) (** I) ∑+∞
7) ∑+∞ n=1 ∑k=1 k x n=0 n!(n+2) x
(−1)n xn
2
n+1 xn n+1 nx2n+1 n x4n−1
11) (**) ∑+∞
12) (**) ∑+∞
9) (** I) ∑+∞
10) (*) ∑+∞ n=0 (n + 1)2 n=0 (−1) n=1 n n=1 (−1) 4n
+∞
n
13) (***) ∑n=0 an x où a0 = a1 = 1 et ∀n ∈ N, an+2 = an+1 + an n 14) (**) ∑+∞ n=0 an x où an est le nombre de couples (x, y) d’entiers naturels tels que x + 5y = n. x 5) (*) ∑+∞ n=0 (4n)!

n
6) (**) ∑+∞ n=0 (ch n)x

Correction

[005746]

Exercice 3
Développer en série entière les fonctions suivantes :
1
1) (*) (x−1)(x−2) x sin a
4) (**) arctan 1−x cos a , a ∈]0, π[ x 2
7) (*) 0 cos(t ) dt

1
,t ∈R
2) (*** I) x2 −2tx+1
1
5) (**) (x−1)(x−2)...(x−p) x dt
8) (*** I) −∞ t 4 +t 2 +1

1

3) (*) ln(x2 − 5x + 6)
6) (*** I) (arcsin x)2
9) (**) cos x ch x.

Correction

[005747]

Exercice 4 * I
Pour x réel, on pose f (x) =

sin x x si x = 0
. Montrer que f est ce classe C∞ sur R.
1 si x = 0

Correction

[005748]

Exercice 5 *** I k Soient Pn = ∑nk=0 Xk! et R > 0 donné. Montrer que pour n