Calcul Stochastique pour la finance

Romuald ELIE

2 Nota : Ces notes de cours sont librement inspirées de différentes manuels, polycopiés, notes de cours ou ouvrages. Citons en particulier ceux de Francis Comets, Nicole El Karoui, Monique Jeanblanc, Bernard Lapeyre, Damien Lamberton, Steven Shreeve... Je les en remercie.

Mea Culpa : Comme dans toutes notes de cours, des erreurs sont encore présentes dans ce polycopié. N’hésitez pas à me les communiquer : elie@ceremade.dauphine.fr.

Table des matières
1 Notion d’Arbitrage 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Hypothèses sur le marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comparaison de portefeuilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relation de parité Call-Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prix d’un contrat Forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 5 6 7 8 11 11 13 14 17 19 19 20 22 23 26 28 31 31 31 31 32 33 35

2 Modèle Binomial à une période 2.1 2.2 2.3 2.4 Modélisation probabiliste du marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stratégie de Portefeuille simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Probabilité risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Evaluation et couverture d’un produit dérivé . . . . . . . . . . . . . . .

3 Modèle binomial à n périodes 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 "Rappels" de probabilité : Processus discret et Martingale . . . . . . . . Modélisation du marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stratégie de portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbitrage et Probabilité risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Duplication d’un produit dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Evaluation et couverture d’un produit dérivé . . . . . . . . . . . . . . .

4 Calcul stochastique 4.1 Processus et Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .