´ MINES-PONTS 2001. Fili`re MP. MATHEMATIQUES 1. e Corrig´ de JL. Lamard (jean-louis.lamard@prepas.org) e I.1. Premi`res propri´t´s. e e e a. Si x est vecteur co-propre (non nul) associ´ a µ 1 et µ2 il vient (µ1 − µ2 )x = 0 donc µ1 = µ2 car x = 0. e` cqfd. b. Si µ est valeur co-propre et x vecteur co-propre associ´, il vient imm´diatement (tenant compte de la semi-lin´arit´) e e e e e e que eiθ est ´galement valeur co-propre et que e−iθ/2 x est vecteur co-propre associ´. cqfd. c. Eµ est un espace vectoriel r´el mais n’est pas un espace vectoriel complexe. e d. Il vient imm´diatement que la compos´e de deux applications semi-lin´aires est lin´aire. e e e e I.2. Matrice associ´e a une application semi-lin´aire. e ` e a. Soit A = aij avec aij la ieme composante de u(ej ) sur la base B = (ek ). Soit x = n n k=1
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xk ek et y = u(x). k=1 Il vient y = k=1 xk u(ek ) donc yi =

xk aik . Ainsi Y = AX .

b Soit x quelconque de E et soit y = u(x). Avec des notations claires on a, d’apr`s a. ci-dessus : e Y = AX et Y = BX . Or Y = SY et X = SX donc SY = ASX = AS X soit Y = S −1 AS X puisque S est inversible. Il en r´sulte que ∆X = 0 avec ∆ = B − S −1 AS et cela pour tout vecteur x donc pour toute colonne e X . En prenant X successivement ´gal aux vecteurs de la base canonique de C n , il vient que toutes les colonnes e de ∆ sont nulles donc que ∆ est nulle. Ainsi B = S −1 AS . I.3. Exemples. a. Si X est vecteur co-propre (non nul) associ´ a la valeur co-propre µ il vient e` b = −|µ|2b b = −µa . donc a = µb a = µb Or X = 0 donc b = 0 car b = 0 implique a = 0 donc X = 0. Ainsi |µ| 2 = −1 ce qui est impossible. La rotation d’angle π/2 n’admet aucune valeur co-propre.
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b. Si A est r´elle et admet une valeur propre r´elle λ alors il existe X vecteur r´el non nul tel que AX = λX. Or e e e X = X de sorte que AX = λX. Si λ ∈ R est valeur propre de la matrice r´elle A alors elle est ´galement valeur co-propre . e e I.4. Valeurs co-propre de A et