CONCOURS COMMUN 2000
DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES
Epreuve de Mathématiques
(toutes filières)

ANALYSE
Partie I : Etude de la réciproque de la fonction tanh.
1.- On sait que tanh est dérivable sur R et que, pour tout réel x :
(tanh) ′ (x) =

sinh cosh ′

(x) =

sinh ′ (x)cosh(x) − sinh(x)cosh ′ (x) cosh2 x − sinh2 x
1
=
=
> 0.
2
2 cosh (x) cosh x cosh2 x

Donc, tanh est dérivable et strictement croissante sur R. Par suite, tanh établit une bijection de R sur tanh(R). Or, tanh(R) =] lim tanh(x), lim tanh(x)[=] − 1, 1[= I. x→ −∞

x→ +∞

Donc tanh établit une bijection de R sur I =] − 1, 1[.

2.- Soit x ∈ R.

tanh ′ (x) =

cosh2 x − sinh2 x
= 1 − tanh2 x. cosh2 x

Donc,
∀x ∈ R, tanh ′ (x) = 1 − tanh2 x.
3.- Tout d’abord, si x ∈] − 1, 1[, alors −x ∈] − 1, 1[. Soit donc x ∈] − 1, 1[ puis y = Artanh(x) (ce qui équivaut à x = tanh(y)). Puisque tanh est impaire, on a :
Artanh(−x) = Artanh(−tanhy) = Artanh(tanh(−y)) = −y = −Artanhx.
On a montré que :
Artanh est impaire.

4.- Puisque tanh est dérivable sur R et que sa dérivée ne s’annule pas sur R, on sait que sa réciproque Artanh (définie sur ] − 1, 1[ à valeurs dans R) est dérivable sur ] − 1, 1[ et que, pour x ∈] − 1, 1[ :
Artanh ′ (x) =

1
1
1
=
=
.
2
1 − x2 tanh (Artanh(x))
1 − tanh (Artanh(x))
′

Donc,
Artanh est dérivable sur ] − 1, 1[ et ∀x ∈] − 1, 1[, Artanh ′ (x) =

http ://www.maths-france.fr

1

1
.
1 − x2

c Jean-Louis Rouget, 2006. Tous droits réservés.

5.- 1ère solution. (la solution probablement attendue par l’énoncé au vu de l’ordonnancement des questions).
Pour x ∈] − 1, 1[, on a :
Artanh ′ (x) =
=

1−x
1
ln(
)
2
1+x

1 (1 − x) + (1 + x)
1
1
=
=
2
1−x
2 (1 − x)(1 + x)
2

1
1
+
1−x 1+x

=

1
(ln(1 + x) − ln(1 − x))
2

′

′

.

Par suite, il existe une constante C ∈ R telle que, pour tout x ∈] − 1, 1[,
Artanh(x) =

1 ln 2

1+x
1−x

+ C.

Pour x = 0, on obtient Artanh(0) = 0 + C et on a montré que :
∀x ∈] − 1, 1[, Artanh(x) =

1 ln 2

1−x
1+x

.

2ème solution. Soit x ∈] − 1, 1[ et y ∈ R.