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Chapitre 5

Méthodes des éléments finis en
2D
5.1 Première approche
On considère l’écoulement incompressible à potentiel dans un canal bidimensionnel obturé partiellement par un obstacle carré. Les dimensions du problème sont indiquées sur la figure (5.1).
L’équation d’équilibre régissant la fonction de courant ψ(x, y) n’est autre que l’équation de Laplace

Marc Buffat

∆ψ =

1

UFR de Mécanique
Université Claude Bernard, Lyon I

∂2 ψ ∂2 ψ
+ 2 =0
∂x2
∂y

où ψ(x, y) est la fonction de courant telle que : u= 13 mars 2007

∂ψ
∂ψ
, v=−
∂y
∂x

u et v étant les composantes de la vitesse. Les conditions aux limites en vitesse pour ce problème sont :
F

U0

E

Ω
A

C

D

11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
B 00000000
11111111
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000

2H

10H

1 avec

l’aide précieuse de Bernard Gay et Hamda BenHadid

F IG . 5.1 – écoulement potentiel dans un canal
Marc BUFFAT, UFR Mécanique, UCBLyon

4H

2

CHAPITRE 5. MÉTHODES DES ÉLÉMENTS FINIS EN 2D

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CHAPITRE 5. MÉTHODES DES ÉLÉMENTS FINIS EN 2D

1. en entrée, une vitesse constante suivant x : u = U0 , v = 0
2. en sortie, la même vitesse qu’en entrée : u = U0 , v = 0
→→
3. une condition de glissement sur les parois : − .− = 0 u n

u=

En utilisant la définition de ψ, on en déduit les conditions aux limites pour la fonction de courant (en choisissant une origine pour ψ en y = 0) :
Ry

1. en entrée en x = −5H : ψ(−5H, y) = 0 u dy = U0 y
R
2. en sortie en x = 5H : ψ(5H, y) = 0y u dy = U0 y

Par raison de symétrie du domaine, des conditions aux limites et de l’équation du problème, on peut limiter le domaine d’étude au domaine Ω de frontière ABCDEF (soit
1/4 du domaine initial). Les conditions