23
Le nombre π
C’est une leçon de type « large », c’est-à-dire une leçon de synthèse.

23.1

La fonction exponentielle complexe

xn est convergente. n! zn
Théorème 23.1 Pour tout nombre complexe z la série est convergente. n! On note f (z) la somme de cette série pour z ∈ C.
Lemme 23.1 Pour tout réel x ≥ 0 la série

Théorème 23.2
1. Pour tous nombres complexes λ et µ on a f (λ) f (µ) = f (λ + µ) avec f (0) = 1.
2. La restriction de f à R coïncide avec la fonction exponentielle réelle.
Pour cette raison, on note, pour tout nombre complexe z, ez la somme de la série qui définit ainsi la fonction exponentielle complexe.

zn
, ce n! Théorème 23.3
1. Pour tout nombre complexe z, on a ez = ez .
2. Pour tout nombre réel t, on a |eit | = 1.

23.1.1

Les fonctions cosinus et sinus et le nombre π

On définit les fonctions cosinus et sinus par :
∀t ∈ R, cos (t) =

eit et sin (t) =

eit .

Théorème 23.4 Les fonctions cos et sin sont indéfiniment dérivables sur R avec :
∀t ∈ R, cos (t) = − sin (t) et sin (t) = cos (t) .
Lemme 23.2 L’ensemble E = {t ∈ ]0, 2[ | cos (t) = 0} est non vide et admet une borne inférieure t0 ∈ ]1, 2[ .
On peut maintenant définir le nombre π par π = 2t0 .
Théorème 23.5 On a : π 1. ei 2 = 1.
2. eiπ = −1.
3. La fonction z → ez − 1 s’annule uniquement sur 2iπZ.
457

458

23.1.2

Le nombre π

Le lien avec le nombre π des géomètres

Théorème 23.6 La fonction t → eit réalise une surjection de R sur le cercle unité du plan euclidien. Le cercle unité du plan euclidien peut être paramétré par : t → (cos (t) , sin (t))
Théorème 23.7 Le périmètre du cercle unité du plan euclidien vaut 2π.

23.2

La fonction arc-tangente comme primitive de

1
1 + x2

On propose ici une autre présentation du nombre π.
On désigne par f la fonction définie sur R par : x ∀x ∈ R, f (x) =
0

dt
.
1 + t2

Théorème 23.8
1. La fonction f est impaire, indéfiniment dérivable sur R et strictement croissante.