Terminale S Spe 2010-2011

Nombres Premiers
Théorème de Dirichlet (1805-1859)
Nous avons démontré qu'il existe une innité de nombres premiers (preuve due à Euclide). Le théorème de Dirichlet est le suivant : Si a et b sont deux nombres entiers premiers entre eux, avec a > 0, alors il existe une innité de nombres premiers de la forme an + b (n entier naturel). La preuve en est très dicile, les deux cas particuliers traités ci-dessous sont toutefois accessibles en TS. 1. Montrer que tout nombre premier > 2 est de la forme 4n − 1 ou 4n + 1 (n entier naturel). 2. Soit p un nombre premier > 2. On pose q = 22 × 3 × 5 . . . × p − 1 (le produit comprend tous les nombres premiers p). a) Montrer que tout diviseur premier de q est strictement plus grand que p. b) Montrer que q ≡ −1[4]. c) Montrer par l'absurde qu'au moins un diviseur premier de q est congru à −1 modulo 4. d) En déduire qu'il existe une innité de nombres premiers de la forme 4n − 1. 3. Montrer que tout nombre premier > 3 est de la forme 6n − 1 ou 6n + 1 (n entier naturel). 4. Soit p un nombre premier > 3. On pose q = 2 × 3 × 5 . . . × p − 1 (le produit comprend tous les nombres premiers p). En adaptant la preuve précédente, démontrer qu'il existe une innité de nombres premiers de la forme 6n − 1.

Nombres de Fermat(1605 ou 1608 - 1665)
Les nombres de Fermat sont dénis par Fn = 22 + 1 (n entier 1). Gauss (1777-1855) a prouvé que, si Fn est égal à un nombre premier p, alors le polygone régulier de p cotés peut être construit à la règle et au compas. F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537 sont des nombres premiers, et Fermat conjectura que tous les nombres Fn étaient premiers. Gauss, encore lui, montra que F5 est divisible par 641. A ce jour, on ne connait aucun nombre Fn premier au delà de F4 , on pense même que les nombres de Fermat premiers sont en nombre ni, bien qu'on n'en ait aucune preuve. 1. F5 n'est pas premier : la preuve de Gauss. a) Vérier que 641 = 54 + 24 . En déduire que 641 divise 54