En théorie des nombres, le théorème des nombres premiers est un résultat concernant la distribution asymptotique des nombres premiers. En définissant, pour tout réel positif x, le nombre π(x) comme le nombre de nombres premiers inférieurs à x, le théorème des nombres premiers s'énonce de la façon suivante :

Théorème des nombres premiers — Lorsque x \rightarrow +\infty, on a

\pi(x)\sim\frac{x}{\ln(x)}.

(ln (x) désigne le logarithme naturel de x ; pour la signification de ce \sim, et du O ci-dessous, voir l'article sur les notations de Landau).

Une meilleure approximation, avec une estimation de l'erreur, est donnée par la formule :

\pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x e^{-\frac{\sqrt{\ln(x)}}{15}}\right)

pour de grandes valeurs de x (Li est la fonction logarithme intégral).

Le tableau suivant illustre les écarts entre π(x) et ses approximations, \frac{x}{\ln(x)} et Li(x) : x π(x) π(x) - x / ln(x) Li(x) - π(x) x / π(x)
101 4 0 2 2,500
102 25 3 5 4,000
103 168 23 10 5,952
104 1 229 143 17 8,137
105 9 592 906 38 10,430
106 78 498 6 116 130 12,740
107 664 579 44 159 339 15,050
108 5 761 455 332 774 754 17,360
109 50 847 534 2 592 592 1 701 19,670
1010 455 052 511 20 758 029 3 104 21,980
1011 4 118 054 813 169 923 159 11 588 24,280
1012 37 607 912 018 1 416 705 193 38 263 26,590
1013 346 065 536 839 11 992 858 452 108 971 28,900
1014 3 204 941 750 802 102 838 308 636 314 890 31,200
1015 29 844 570 422 669 891 604 962 452 1 052 619 33,510
1016 279 238 341 033 925 7 804 289 844 392 3 214 632 35,810
4 ·1016 1 075 292 778 753 150 28 929 900 579 949 5 538 861 37,200

Le théorème des nombres premiers permet d'obtenir une formule qui donne le comportement asymptotique du nième nombre premier p(n) :

p(n)\sim n\ln(n).

Sommaire
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* 1 Histoire * 2 Ébauche de la preuve * 3 Ce qu'il advint de la « profondeur » *