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PGCD

ϕ(n)

Fonctions génératrices

Théorie des nombres
P. Rouchon
Ecole des Mines de Paris
Centre Automatique et Systèmes

Décembre 2007

La fonction ζ

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ϕ(n)

Fonctions génératrices

Plan
1

2

3

4

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Zn et Z∗n
Algorithme d’Euclide
Complexité de l’algorithme d’Euclide ϕ(n) Fermat et Euler
Théorème chinois
Déchiffrement RSA
Eléments primitifs
Théorème de Lucas
Fonctions génératrices
Jean Dieudonné dans l’Encyclopeadia Universalis
Exemples
La fonction ζ
Produit Eulerien
Prolongement analytique de ζ
Répartition des nombres premiers
Le théorème de la progression arithmétique

La fonction ζ

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Fonctions génératrices

La fonction ζ

Quelques références
Excellent résumé dans le premier chapitre du cours ENST de Zémor.
“Que sais-je” sur les nombres premiers (un éclairage probabiliste ainsi qu’une preuve élémentaire mais assez difficile du théorème des nombres premiers).
Excellent livre de vulgarisation de Jean-Paul Delahaye sur les nombres premiers aux éditions Belin. l’Encyclopeadia Universalis comporte d’excellents articles sur des sujets connexes.
Le livre classique dû à Hardy et Wright.
Les carnets de Ramanujan

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Fonctions génératrices

La fonction ζ

Zn et Z∗ n On note Zn = Z/nZ l’ensemble des classes modulo n. Il y en a n (#Zn = n) et on identifie Zn à l’ensemble
{0, 1, ..., n − 1}. Zn est muni d’une structure naturelle d’anneau pour l’addition et la multiplication.
Si k ∈ Zn est inversible, on calcule son inverse via l’algorithme d’Euclide et l’identité de Bezout. On note Z∗n l’ensemble des k ∈ Zn inversibles.
Zn est un corps ssi n est premier et alors Z∗n = Zn /{0} dans ce cas.

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Algorithme d’Euclide

Soient donc deux entiers strictement positifs k < n: n = kq0 + r0 ,

r0 < k

k = r0 q 1 + r1 ,

r1 < r0

r0 = r1 q2 + r2 ,
..
.

r2 < r1

rm−2 = rm−1 qm + rm ,
rm−1

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