De la vie sur Mars !
La dernière sonde, envoyée sur Mars par l’Union Européenne, a enfin réussi à observer ce que l’on attendait depuis longtemps : de la vie sur Mars ! Il s’agit évidemment d’une forme primitive de vie, et les êtres observés ne mesurent pas plus d’un millième de millimètre, ce qui explique la difficulté que la sonde a eue à remarquer ce que nous appellerons des cellules. Avec des informations aussi partielles, les scientifiques ont toutefois pu observer les faits suivants : – Il y a trois espèces identités de cellules, que l’on désignera par A, B et C. – La reproduction des cellules implique la participation de trois cellules « parents ». – Il ne peut y avoir reproduction que lorsque les trois cellules-parents sont « compatibles », c’est-à-dire que au moins deux sont de la même espèce. 1. On a observé des proportions respectives a, b, c de cellules des différentes espèces, avec a + b + c = 1. (a) Quelle est la probabilité p que trois cellules prises au hasard soient compatibles ?
7 (b) Montrer que p ≥ 9 . On pourra d’abord établir une inégalité à c fixé.

Les scientifiques ont établi que lorsque les trois espèces des cellules-parents sont les mêmes, la descendance est de la même espèce que ses cellules-parents. En revanche, lorsque deux cellules-parents sont d’une espèce α et que le troisième est d’une espèce β, les scientifiques hésitent entre deux modèles : – Modèle 1 : le descendant est du type de l’espèce majoritaire α, – Modèle 2 : le descendant est du type de l’espèce minoritaire β. Pour comparer ces modèles, on va estimer l’évolution des proportions de cellules des différentes espèces au cours du temps. On note a0 > b0 > c0 les proportions des différentes espèces à la génération 0, et an , bn , cn les proportions des différentes espèces à la génération n ∈ N. Pour déterminer an+1 , bn+1 , cn+1 , on prend trois cellules au hasard suivant les proportions an , bn , cn , et an+1 sera la probabilité que la descendance soit de type A, sachant que les