Chapitre 1. Divisibilité et congruences
Corrigés des « Pour se tester »
33. Questions sur le cours
a) b divise a signifie qu’il existe un entier k tel que a  bk .
b) Si a divise b et si b divise c, alors a divise c.
c) Si d divise a et b, alors pour tous entiers relatifs m et n, ma  nb est divisible par d (ou ma  nb est un multiple de d).
d) La division euclidienne de a par b se traduit par a  bq  r où q et r sont des entiers naturels tels que 0  r  b .
e) a  b (mod m) signifie que a et b ont le même reste dans la division euclidienne par m.
f) Si a  b (mod m) , alors pour tout entier naturel non nul n, an  bn (mod m) .
34. Vrai ou faux
a) Vrai. La division euclidienne de n par 3 s’écrit n  3 k  r avec 0  r  3 . Donc r=0 ou r=1 ou r=2.
b) Faux. Dans une division euclidienne, le reste est toujours un entier positif.
c) Vrai. Si d divise a et b, alors pour tous entiers relatifs m et n, d divise ma  nb . En prenant m  a et n  5 , on obtient d divise a2  5 b .
d) Faux. Contre-exemple : a=9.
2  9  10 (mod8) et 9  1(mod8) , donc 9 n’est pas congru à 5 modulo 8.
e) Faux. Contre-exemple : a = 7 et b = 3.
49  9 (mod 5) mais 7 n’est pas congru à 3 modulo
5.
f) Faux. Contre-exemple : a = 13 et b = 5.
13  5  2  3 donc r = 3.
132  5  33  4 donc r '  4  32 .
35. QCM (une seule réponse exacte)
1. Comme r  0 , –r et r  b ne peuvent pas être le reste de la division euclidienne de –a par b car ils sont strictement négatifs.
Réponse exacte : c).
2. a  2(mod11) donc a4  24 (mod11) .
Comme 24  5 (mod11) , a4  5 (mod11) .
Réponse exacte : c).
3. 200  13 mod17 ;
2002  169 mod17   1 mod17  ;
2003  4 mod17  ;

© Nathan 2012 – Transmath Term S – Spécialité.

2004  1 mod17  .
Parmi les réponses proposées, la seule pouvant être correcte est 4.
Réponse exacte : b).
4. 56  1 mod 7 donc 56 p  1 mod 7  . D’où :
56 p1  5 mod 7  ; 56 p2  25  4 mod 7  ;
56 p3  20  6 mod 7  ;