PROBABILITES 1

Vocabulaire
Une expérience est dite aléatoire si les résultats sont soumis au hasard. On ne peut ni les prévoir ni les calculer. Chaque résultat possible s’appelle une issue. L’ensemble des issues constitue l’univers, un ensemble d’issues forme un évènement. Un évènement élémentaire est constitué d’une seule issue, l’évènement impossible ne peut pas se réaliser et l’évènement certain est toujours réalisé.

Loi de probabilité
On réalise la même expérience n fois et on note k le nombre de fois où une issue e se réalise. On calcule f = kn la fréquence de cette issue. Si n devient très grand cette fréquence se stabilise et on obtient p la probabilité de cette issue.
Définition : Soit E = {e1 ; e2 ; …… ; en } un univers fini. Définir une loi de probabilité c’est associer à chaque issue ei un nombre pi avec 0 ≤ pi ≤ 1 appelé probabilité tel que p1 + p2 + …….. + pn = 1
Si toutes les probabilités sont égales la loi est dite équirépartie et pi = 1n .
Dans le cas d’équiprobabilité la probabilité d’un évènement A : p(A) = nombre d'élémentsde Anombre d'élémentsde E

Exemple 1 : Le jeu de carte

Propriétés
Soient A et B deux évènements de E. p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B) ou p(A ∩ B) = p(A) + p(B) – p(A ∪ B)
Si A et B sont deux évènements incompatibles (qui ne peuvent se réaliser ensemble) p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
L’évènement contraire de A se note A et on a : p(A) = 1 – p(A)

Exemple 2 :
Dans un sac opaque on a placé 4 boules marquées 1, 6 boules marquées 2, 2 boules marquées 3 et 8 boules marquées 4. On note A l’évènement obtenir un résultat pair, B l’évènement obtenir un numéro strictement inférieur à 3 et C obtenir au moins 2. 1) Déterminer les probabilités des évènements A et B. 2) Déterminer la probabilité d’obtenir un résultat pair et strictement inférieur à 3. 3) En déduire la probabilité p (A ∪ B) 4) Définir l’évènement C et calculer p(C).

Espérance et variance d’une loi.