Asie 2007 EXERCICE II. ÉTUDE D’UN SYSTÈME SOLIDE-RESSORT (5,5 points)
Sans calculatrice Correction

1. Étude d’un enregistrement

Voir l’excellente animation de G.Tulloue : http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Oscillateurs/oscillateur_horizontal.html 1.1. À t = 0 s, x(0) = 2,0 cm donc x(0) > 0. L'axe (x'x) est orienté positivement de la gauche vers la droite donc le mobile est écarté initialement de sa position d'équilibre vers la droite.
1.2. vX = [pic] , [pic] est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe x(t).
À t = 0 s, la tangente à x(t) est horizontale [pic] m.s-1. Le mobile est lâché sans vitesse initiale.
1.3. La période est la plus petite durée qui sépare le passage du mobile par sa position d'équilibre dans le même sens. On mesure 2T = 1,41 – 0,15 = 1,26 s donc T = 0,63 s

1.4. Allure de la courbe (en rouge) si le mobile était lancé avec une vitesse initiale depuis sa position d’équilibre dans le sens des x négatifs. On aurait vX(0) < 0, donc [pic] < 0.
1.5. On a [pic]. Il faut donc calculer la valeur du coefficient directeur de la tangente à la courbe x(t) à la date t = t1 .

2. Étude théorique du mouvement.

1. Le système {mobile} dans le référentiel terrestre galiléen est soumis à trois forces : - le poids [pic], vertical et orienté vers le bas, - la réaction du rail, [pic] verticale et orientée vers le haut (car pas de frottements), - la force de rappel [pic]= - K.x.[pic], horizontale et orientée vers la gauche sur le schéma

2.2. Deuxième loi de Newton appliquée au système {solide} dans le référentiel terrestre :
[pic] + [pic] + [pic]= m.[pic] en projection sur l'axe (x'x) : 0 + 0 – K.x(t) = m.[pic]
Finalement [pic].

2.3. À t = 0 s, x(0) = 2,0 cm et avec la solution proposée : x(0) = [pic]= XM.cos(()
À t = 0 s, vx(0) = 0,0 m.s-1 et avec la solution proposée: [pic]XM.[pic] soit vx(0) = [pic]XM.[pic]
Avec: vx(0) = 0 alors