Université Cadi-Ayyad Faculté des Sciences Semlalia Département des Mathématiques

S2-2010-2011 Filière SMPC Module Analyse II

Contrôle n◦2
Durée 1H 30 Exercice 1 : ( 5 points)

On considère l'équation diérentielle : y” + 2y + 2y = ex sin(x)

(E)
1) 2)

Donner la solution de l'équation diérentielle sans second membre associée à l'équation (E). Trouver la solution générale de l'équation diérentielle (E). Soit f la fonction dénie par : f (x, y) = xy x4 + y 4

Exercice 2 : ( 5 points)

Déterminer le domaine de dénition de la fonction f . 2) Soit D une droite quelconque passant par l'origine. Calculer la limte suivant la direction D de f en (0, 0). 3) Peut-on en déduire que f admet une limite en (0, 0) ? Exercice 3 : ( 5 points) Chercher les points critiques de
1)

h(x, y) = y[(ln(y))2 + x2 ],
Exercice 4 : ( 5 points)

pour y > 0

et préciser s'il s'agit d'un minimum, maximum ou d'un point selle. On considère la forme diérentielle : ω= 1) 2)

e−x e−x dx + dy 4 + x2 4 + y2

La forme diérentielle ω est elle exacte sur R2 ? Trouver un facteur intégrant m de ω , qui ne dépend que de x.

3)

En déduire la résolution de l'équation diérentielle :
(E) e−x e−x + y = 0. 4 + x2 4 + y 2
Correction

Exercice 1 : ( 5 points)

On considère l'équation diérentielle : y” + 2y + 2y = ex sin(x)

(E)
1)

L'équation carctéristique est ϕ(r) = r2 + 2r + 2 = 0 = 0 qui admet comme racines r1 = −1 + i et r2 = −1 − i et donc la solution de l'équation diérentielle sans second membre associée à l'équation (E) est : y0 (x) = [A cos(x) + B sin(x)]e−x

2)

Comme (1 + i) n'est pas racine de ϕ(r) = 0 donc une solution particulière est de la forme yp (x) = [C cos(x) + D sin(x)]ex , on trouve x C = −D = −1 donc yp (x) = [sin(x) − cos(x)] e8 et alors la solution 8 générale de l'équation diérentielle (E) est : y(x) = [A cos(x) + B sin(x)]e−x + [sin(x) − cos(x)] ex 8

Exercice 2 : ( 5 points)

Soit f la fonction dénie par : f (x, y) =