Poincaré – Dernières pensées

Chapitre IV – La logique de l’infini

[Travail en cours sur l’ensemble du chapitre et le suivant - Par François R. 2010]

Paragraphe 1 : Ce que doit être une classification.

Cet article est une réponse aux travaux de Frege et Russell à propos de la théorie des classes et de la théorie des ensembles. Ils ont tachés de réduire une partie des mathématiques à la logique. Par ce fait, les problèmes inhérents aux mathématiques se sont greffés à la logique qui se doit de les expliquer. Comme l’écrit Poincaré dès le début du texte, le travail des mathématiciens porte sur l’étude de l’infini ce qui pose nécessairement le problème de la portée de ce concept au niveau de la logique. C’est ainsi qu’il pose la question : « Les règles ordinaires de la logique peuvent-elles être appliquées sans changement, dès que l'on considère des collections comprenant un nombre infini d'objets ? […] Ces contradictions proviennent-elles de ce que les règles de la logique ont été mal appliquées, ou de ce qu'elles cessent d'être valables en dehors de leur domaine propre, qui est celui des collections formées seulement d'un nombre fini d'objets ? » (p.101) L’étude de l’infini en mathématique implique-t-elle une contradiction avec la logique ? La question ici est de savoir si la connexion entre les mathématiques et la logique est réelle ou simplement apparente. Ces deux sciences ont-elles le même domaine d’application, s’utilisent-elles avec les mêmes objets où sont-ce deux branches distinctes dont les objets sont foncièrement différents ?

Poincaré définit la logique formelle comme « n’étant pas autre chose que l'étude des propriétés communes à toute classification ». Ici, il utilise l’exemple de deux soldats qui, s’ils font partie de la même brigade, alors ils font partie de la même division. Ce qui est une affirmation de la « théorie de la syllogistique » (p.102). Une généralité est affirmée : Tous les soldats faisant partie de la même