17 Polynômes d'endomorphismes en dimension nie. Applications
On utilise les mêmes notations qu'au chapitre 16. Les notions de valeurs, vecteurs, espaces propres et de polynôme caractéristique sont supposées connues (voir le chapitre 16). On rappelle que l'ensemble K [X] des polynômes à une indéterminée et à coecients dans un corps commutatif K est une K-algèbre commutative, unitaire et intègre (voir les chapitres 10 et 11). L'anneau K [X] est euclidien, donc principal et factoriel. En particulier, on dispose des notions de pgcd, ppcm et du théorème de Bézout qui nous dit que, pour r ≥ 2, les polynôme P1 , · · · , Pr sont premiers entre eux dans leur ensemble si, et seulement si, il existe des polynômes
U1 , · · · , Ur tels que r ∑ k=1

Uk Pk = 1.

Dans ce qui suit, u est un endomorphisme de E.

17.1 L'algèbre commutative K [u]
On note u0 = Id et on dénit les puissances successives de u par la relation de récurrence :
∀k ∈ N, uk+1 = uk

ce qui nous permet de dénir, pour tout polynôme P =
P (u) , par : P (u) = p ∑ k=0

p ∑ k=0

ak X k ∈ K [X] , l'endomorphisme

ak uk

La sous algèbre de L (E) engendrée par u est constituée des endomorphismes v = P (u) où P est dans K [X] . On note naturellement K [u] cette algèbre et il est facile de vérier qu'elle est commutative. Précisément on a :
∀ (P, Q) ∈ K [X]2 , (P Q) (u) = P (u) ◦ Q (u) = Q (u) ◦ P (u) = (QP ) (u)

A ∈ Mn (K) .

Comme L (E) est de dimension n2 , on a dim (K [u]) ≤ n2 . On dénit de manière analogue la sous algèbre K [A] de Mn (K) engendrée par une matrice 435

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Polynômes d'endomorphismes en dimension nie. Applications

On vérie facilement que si A ∈ Mn (K) est la matrice de u ∈ L (E) dans une base B, alors P (A) est la matrice de P (u) dans B.

de P (u) . Dans le cas où K est algébriquement clos, on a :

Théorème 17.1 Soit P

∈ K [X] . Pour toute valeur propre λ ∈ Sp (u) , P (λ) est valeur propre

Sp (P (u)) = {P (λ) | λ ∈ Sp (u)} x ∈ E \ {0} un vecteur