ÉCOLE POLYTECHNIQUE

FILIÈRE

MP

CONCOURS D’ADMISSION 2004

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures) L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

Courbures des surfaces dans l’espace R3
Ce problème propose une étude des surfaces de l’espace R3 et de leurs courbures totale et moyenne. Pour tout entier n > 0, l’espace Rn sera muni de son produit scalaire et de sa norme usuels notés respectivement (.|.) et . . La première partie est consacrée à des préliminaires algébriques. Première partie 1. Soient x(1) , . . . , x(n) des éléments de Rn+1 , (xj )j=1,... ,n+1 les composantes de x(i) dans la base canonique de Rn+1 . Pour tout k = 1, . . . , n + 1 on note Vk le produit par (−1)k+1 du (i) déterminant de la matrice (xj ) où i = 1, . . . , n et j = 1, . . . , k − 1, k + 1, . . . , n + 1. On note V le vecteur de Rn+1 de composantes Vk . 1.a) Montrer que V est orthogonal à tous les x(i) . 1.b) Comparer les conditions suivantes : i) V = 0 ii) la famille (x(i) )i=1,... ,n est liée. 1.c) Exprimer en fonction de V base canonique de Rn+1 . le déterminant des n + 1 vecteurs V, x(1) , . . . , x(n) dans la
(i)

2.a) Montrer que, pour tout n-uple de vecteurs (x(1) , . . . , x(n) ) linéairement indépendants, il existe un unique vecteur W (x(1) , . . . , , x(n) ) ayant les propriétés suivantes i) W (x(1) , . . . , x(n) ) est de norme 1 et orthogonal à tous les x(i) ii) le déterminant des n+1 vecteurs W (x(1) , . . . , x(n) ), x(1) , . . . , x(n) dans la base canonique est strictement positif. 1

de

Rn+1

2.b) Vérifier que, pour toute rotation R de Rn+1 , on a W R(x(1) ), . . . , R(x(n) ) = R W (x(1) , . . . , x(n) ) . 3) Soit (e1 , . . . , en ) une base de Rn , Q la matrice de coefficients qi,j = (ei |ej ). 3.a) Montrer que Q est inversible et diagonalisable. Que peut-on dire de ses valeurs propres ? 3.b) Soit v un vecteur de Rn , de coordonnées vi dans la base (e1 , . . . , en ). Exprimer le Ä ä vecteur ligne (v1 , . .