PROBLEME SUR LES PROJECTIONS DE L’HELICE
R. FERREOL ferreol@mathcurve.com

PRELIMINAIRES
→

L’espace affine euclidien orienté E, de dimension 3, associé à l’espace vectoriel E , est rapporté au repère orthonormé
→ →

direct
→

( O, i , j , k ),
→

→

→

→

d’axes

Ox,
→

Oy,
→

Oz.

Le

produit

scalaire

de

deux

vecteurs

u et v est noté ( u

v ) et leur produit vectoriel u ∧ v .

On considère dans E l’hélice circulaire (H) d’équations paramétriques :

x = R cos t y = R sin t z = ht
L’objet de ce problème est d’étudier les projections orthogonales et coniques planes de (H). La partie III est indépendante des deux premières parties. où R et h sont deux constantes > 0.

PARTIE I : Formules de projection orthogonale.

1)

Soit n un vecteur de norme égale à 1, de coordonnées (a, b, c) avec c ≥ 0 et soit (P) le plan affine passant par O et orthogonal à n , associé au plan vectoriel P . Soit p la projection affine orthogonale de E sur le plan (P), et (C) la courbe plane image de (H) par p. Quelle est la nature de la courbe (C) lorsque (P) est le plan xOy ?
→ →

→

Tournez la page S.V.P.

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2) On suppose dorénavant que (P) est différent du plan xOy. Comment se traduit cette condition sur les nombres a, b, c ? On désigne par p la projection vectorielle associée à p (par conséquent p point M de E). a) Donner une formule exprimant p ( x ) en fonction de x et de n , pour tout vecteur x de E. b) En déduire la matrice de p dans la base ( i , j , k ). c) Quelle relation existe-t-il entre les lignes L1, L2 , L3 de cette matrice ?
→→ 2
→ → → → →→ → → → →
→    →   OM = O p→ ) pour tout (M  

3)

4)

a) Calculer p ( k )
→

en simplifiant l’expression au maximum.
→

→→

p (k) b) On pose I = → → p (k)

et on définit le vecteur J de façon à ce que ( I , J , n ) soit une base

→ → →

orthonormée indirecte de E. Sans utiliser les coordonnées, montrer que J est dans l’intersection du plan