Probabilités

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VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES
Exercice 1 (d’après ESSEC 1999 voie T)
Une expérience aléatoire consiste à lancer simultanément deux dés équilibrés, et l’on répète indéfiniment cette expérience. On suppose les lancers indépendants.
Partie A : Etude du temps d’attente pour obtenir un double six
On note X la variable aléatoire indiquant le numéro de l’expérience aléatoire où l’on obtient pour la première fois un double six (c’est-à-dire où les deux dés donnent six).
1) Calculer la probabilité d’obtenir un double six si l’on lance une fois les deux dés.
2) Reconnaître la loi de X et la préciser.
3) Calculer l’espérance et la variance de X.
4) Ecrire un programme qui simule les lancers des deux dés jusqu’à ce que l’on obtienne un double six, et qui affiche la valeur prise par X.
Partie B : Etude du temps d’attente pour qu’au moins un dé ait amené un six
On note Y la variable aléatoire indiquant le numéro de l’expérience aléatoire où l’on obtient pour la première fois un six (où l’un des deux dés au moins donne un six).
1) Calculer la probabilité de n’obtenir aucun six si l’on lance une fois les deux dés.
2) Reconnaître la loi de Y et la préciser.
3) Calculer l’espérance et la variance de X.
4) Ecrire un programme qui simule les lancers des deux dés jusqu’à ce que l’on obtienne au moins un six, et qui affiche la valeur prise par Y.
Partie C : Etude du temps d’attente pour que chacun des dés ait amené un six
On note Z la variable aléatoire indiquant le numéro de l’expérience aléatoire où pour la première fois chacun des deux dés a amené un six. Par exemple si les résultats des expériences sont, dans cet ordre : (1, 4), (6, 5), (6, 2), (2, 4), (3, 6), …, alors Z prend la valeur 5.
1) Calculer la probabilité pour qu’un dé n’amène aucun six au cours de ses n premiers lancers. 2) En déduire la probabilité P ( Z ≤ n) pour tout n ∈N* .
3) En déduire P ( Z = n) pour tout n ∈N* .
+∞

4) Vérifier que :

∑ P ( Z = n) = 1 .
n