Cours-TD 2010/2011

1er année MPSI-PCSI

Résumé + Devoirs de Physique CLASSES MPSI-PCSI AMAMI MOHAMED IPEST

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AMAMI MOHAMED

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partie 1 : Résumé de cours

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I.5. Analyse dimensionnelle
L’utilisation des dimensions permet de savoir si une expression littérale est homogène ou non. Cela permet de rechercher d’éventuelles erreurs. Mais l’analyse des dimensions ou « analyse dimensionnelle » permet de retrouver, de deviner la forme des lois physiques lorsque la résolution théorique est trop complexe. Supposons qu’une loi physique s’écrive sous la forme a = f(x,y,z) : la grandeur a est fonction des grandeurs (dimensionnées) x, y et z qui sont supposées indépendantes (c’est-à-dire que l’on ne peut pas mesurer l’une d’entre elles en fonction des unités des deux autres). On suppose en outre que la loi physique étudiée peut s’exprimer sous la forme mathématique d’un produit. Il existe alors trois nombres réels α, β et γ ainsi qu’une constante sans dimension C tels que : a = C.xαyβzγ Par analyse dimensionnelle, on peut trouver les coefficients α, β et γ (mais pas la constante C !) T2 4π 2 ème Exemple : La 3 loi de Képler, s’écrit : 3 = que l’on peut écrire sous la forme : a G⋅MS
T2 = 4π 2 3 − a = 4π 2 ⋅ a 3 ⋅ G −1 ⋅ M S 1 G⋅MS
3 −1 −1

− T = 4π 2 ⋅ a 3 ⋅ G −1 ⋅ M S 1 = 4π 2 ⋅ a 2 ⋅ G 2 ⋅ M S2

3 1 1 γ T = C ⋅ a α ⋅ G β ⋅ M S avec α = , β = − et γ = − . 2 2 2 L’analyse dimensionnelle consiste à trouver α, β et γ en écrivant que la dernière expression est homogène.

Soit :

[T ] = [C ][a]α [G ]β [M S ]γ
T = 1Lα M −β L3βT − 2β M γ Soit en égalisant les exposants suivants T, L et M : 1 = −2β

γ T = C ⋅ aα ⋅ Gβ ⋅ M S

0 = α + 3β 0 = γ −β Soit après résolution du système de 3 équations à 3 inconnues : 3 α= 2 1 β=− 2 1 γ=− 2 On trouve bien le résultat attendu sans avoir pu calculer la