Rousseau
1325 mots
6 pages
FORMULE D'INVERSION DE PASCAL ¡Soient (ai) 0
i n
et (bi) 0
i n
des familles d'éléments d'un anneau commutatif A tels que : p k =0
¢ ¡
ap = Alors : p k C p bk ∀p ∈ 0, n
k =0
Preuve par récurrence : On considère la propriété ℘(p) suivante définie pour p ∈ 0, n : j ¢ ¡
k =0 p
• D'après la relation ap = k =0
k C p bk particularisée avec p = 0, on obtient : a0 = b0. D'où ℘(0).
• Montrons que : ∀p ∈ 0, n − 1 , ℘(p) Soit p ∈ 0, n − 1 . Supposons donc : bj =
¢ ¢ ¡
℘(p + 1) j k =0 p +1 p j C p + 1b j
Nous savons que :
ap+1 = j=0 = j=0 p
j C p + 1b j + bp+1
D'où :
bp+1 = ap+1 − j=0 p j j C p +1 j=0
j C p + 1b j
Et d'après notre hypothèse :
bp+1 = ap+1 −
( −1) j − k C k a k j k
£ £
k =0
p
p
bp+1 = ap+1 − k =0 j = k
j ( −1) j − k C p +1C k a k j
Or :
j C p +1C k = j
( p + 1)! j! ( p + 1)! ( p + 1 − k )! p + 1− k × = × = C p +1C p + 1− kj j !( p + 1 − j )! k !( j − k )! k !( p + 1 − k )! ( p + 1 − j )!( j − k )! p p k C p +1a k k =0 j=k
D'où :
bp+1 = ap+1 −
p + 1− ( −1) j − k C p +1− kj
Or, par translation d'indice de sommation : p ( −1) j=k j−k
p + 1− C p +1− kj
p− k
= j=0 p + 1− k ( −1) j C p + 1− k − j
p + 1− k j Et comme : C p +1− k − j = C p +1− k , on déduit :
Formule d'inversion de Pascal
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£
Nous pouvons modifier l'ordre des sommations (tenant compte des conditions : 0
¢
( −1) j − k C k ak ∀j ∈ 0, p j
¡
¢
¡
℘(p) : bj =
( −1) j − k C k a k ∀j ∈ 0, p j
¢
¡
bp =
k ( −1) p − k C p a k ∀p ∈ 0, n
j
p) :
G. COSTANTINI
p
p−k k C p +1a k j ( −1) j C p + 1− k j=0 p + 1− k
bp+1 = ap+1 − k =0 p
bp+1 = ap+1 − k =0 p + 1− k
k C p +1a k j=0
j ( −1) j C p + 1− k − ( −1) p +1− k
Et d'après la formule du binôme : j=0 j ( −1) j C p + 1− k = 0 d'où :
p
bp+1 = ap+1 + k =0 p +1
k ( −1) p +1− k C p +1a k
bp+1 = k =0 j
k ( −1) p +1− k C p