SESSION 2002
CONCOURS COMMUNS POLYltCNNlQUIS

MPM104

EPREUVE

SPECIFIQUE

- FILIERE

MP

Durée

: 4 heures

Les cwlc.ulutr-iws

sont autorisées.
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NB : Le candidat attachera la plus _cmxJe importance II 1s clarté. à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amen6 h repérer ce qui peut lui hemhIer être une erreur d’t!noncé, il le signalera sur sa copie et de\(ra poursui\w sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a étf an~né à prendre.

Autour des produits infinis
Si II,, est un entier (P,, ),,>,,,, définie naturel et si (il!, ),12,i,, est une suite de réels non nuls, II 2 II,~ par : 6 = ni,, ,““, I[~! , converge on lui associe la suite

pour tout entier naturel

= I!!,,, . lli ,,,_, . . . . . ld,,

On dit que le produit

infini

ni{), li>U,

. de terme général

si la suite (P,, ),,>,,,, converge

vers

+Ur fini non nul. On notera alors nlt, sa limite. ,,=,/, Si la suite (P,, ),,>,,,, n’admet pas de limite finie ou si elle converge un nombre rI zt,, diverge. ,i>li,,

vers 0 on dit que le produit

1.

Généralités et exemples
P )i+l. montrer que. pour que le produit 4, que la suite (ioz ),,20 converge vers 1. le quotient infini ni,, Il>o converge, il est

1. En considérant nécessaire Tournez la page S.V.P.

-

1

2.

Soit (II,, ),,1,, une suite de reels non nuls qui conv’erge vers 1. a. Montrer qu’il existe un entier naturel II,, tel que pour tout entier II > II,, , lt,, > 0. b. Montrer que les produits infinis ~II!~ / ‘0 et IJ~J~, sont de même nature. , ./

3. On suppose dans cette question que (iii; ),,‘,, est LIIIC suite de réels strictenicnt positifs. converge. a. Montrer que le produit infini JJl,;. con\~rge si et seulement si la skie c In ri11 ,1 ‘0 ,ilf) h. Montrer que le produit infini n (1 + [I) ) converge si et seulement si la série CII,, converge. ,i >o iil0 c. Si, de plus, pour tout entier naturel II on a 0 < lo, < 1. montrer que le