Introduction

La loi normale (ou de Laplace-Gauss) est la loi de certains phénomènes continus qui fluctuent autour d’une moyenne , de manière aléatoire. La dispersion des valeurs observées d’un même caractère gaussien est représenté par un écart type .

L’objectif de ce projet est d’étudier et de simuler la loi normale centrée réduite c’est à dire la loi normale avec les paramètres et .

Pour cela, on a étudié différents algorithmes fondés sur le théorème central limite, sur la méthode de Box-Müller, sur la méthode polaire, sur la méthode du rejet ou enfin sur une méthode de composition.

Puis, on a implanté ces algorithmes sous Matlab afin de déterminer une loi expérimentale.
Enfin, on a comparé la conformité des lois expérimentales trouvées avec la loi théorique en utilisant le test du khi deux et ainsi déterminer la performance des algorithmes.

I. La loi normale.

1) La loi normale réduite centrée.

Définition :
On dit qu’une variable aléatoire à valeurs dans est dite normale réduite centrée si elle est absolument continue et admet pour densité :

La loi de densité est appelé normale réduite centrée et est notée .

Propriétés :

i. et ii. est une fonction paire et admet une maximum en x=0, qui vaut .Le graphe de a l’allure d’une courbe en cloche :

iii. Sa fonction de répartition est et a pour allure :

2) La loi normale générale.

Définition :
On dit qu’une variable aléatoire à valeurs dans est dite normale si elle est absolument continue et admet pour densité :

La loi de densité est appelé normale et est notée ( ou parfois ).

Propriétés :

i. et . ii. Si suit la loi alors suit la loi . iii. est symétrique par rapport à et admet un maximum en qui vaut . Son graphe a l’allure d’une courbe en cloche centrée en et plus ou moins haute selon .

3) Le théorème central limite

Théorème :
Si sont n variables aléatoires indépendantes ayant