ALGEBRE GENERALE

STRUCTURES ALGEBRIQUES
LOI DE COMPOSITION INTERNE

LOI DE COMPOSITION EXTERNE

Soit E un ensemble. Une loi de composition Soit E un ensemble. Soit 𝕂 un corps. Une loi de interne ∗ sur E est une application 𝑑′ 𝐸 × composition externe ∙ sur E est une application
𝐸 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐸. Pour tout couple ( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑒 𝐸², 𝑥 ∗ 𝑦 de𝕂 × 𝐸 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐸. Pour tout couple ( 𝜆, 𝑥) 𝑑𝑒 𝕂 × désigne l’image de ( 𝑥, 𝑦) 𝑝𝑎𝑟 ∗ :
𝐸, 𝜆 ∙ 𝑥 désigne l’image de ( 𝜆, 𝑥) par ∙ :
{(

𝐸× 𝐸→ 𝐸
.
𝑥, 𝑦) ↦ 𝑥 ∗ 𝑦

{

𝕂× 𝐸 → 𝐸
( 𝜆, 𝑥) ↦ 𝜆 ∙ 𝑥

MORPHISME
Soient (E, ○) et (F, ■) deux ensembles munis des LCI ○ et ■. Une application f : E→F est un morphisme de (E, ○) dans (F, ■) si :
∀( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸², 𝑓( 𝑥 𝑦) = 𝑓(𝑥)■𝑓(𝑦)
Un isomorphisme est un morphisme bijectif.
Un endomorphisme est un morphisme d’un ensemble dans lui-même.
Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.

GROUPE

SOUS-GROUPE

Un ensemble G muni d’une LCI ∗ est un groupe Une partie H non vide de (G,∗) est un soussi : groupe de G si :
i.
∗ est une loi associative
i.
L’élément neutre de G appartient à H ii. (G, ∗) possède un élément neutre ii. H est stable pour la loi de groupe ∗ de iii. Tout élément de G est symétrisable.
G.
iii.
Tout élément de H est symétrisable pour la loi ∗ dans H.
Une partie H non vide de (G,∗) est un sousgroupe de G si et seulement si :
∀ ( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝐻², 𝑥 ∗ 𝑦 −1 ∈ 𝐻

MORPHISME DE GROUPES
Soit f une application de (G, ∗G) dans (H, ∗H). Alors f est un morphisme de groupes si :
i.
ii. iii. 𝑓( 𝑒 𝐺 ) = 𝑒 𝐻
∀𝑥 ∈ 𝐺, 𝑓( 𝑥)−1 = 𝑓 ( 𝑥 −1 )
∀( 𝑥, 𝑛) ∈ 𝐺 × ℤ, 𝑓 ( 𝑥 𝑛 ) = 𝑓( 𝑥) 𝑛

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ANNEAU

SOUS-ANNEAU

Un ensemble A muni de deux LCI + 𝑒𝑡 × est un Une partie A’ non vide d’un anneau (𝐴, +,×) est anneau si : un sous-anneau de A si :
i.
(A, +) est un groupe abélien
i.
(A’, +) est un sous-groupe de (A, +) ii. La loi × est associative ii. A’ est