SUITES NUMERIQUES

I Raisonnement par récurrence

Exemple introductif : (Un) défini pour tout n  IN par :  Un+1 = 2 Un + 1   U0 = 0  Formule Un en fonction de n ?  Calcul des premiers termes (1, 3, 7, 15, 31…) n  Conjecture : Pour tout n  IN, Un = 2 – 1  Démonstration ? n  Soit P la propriété définie pour n  IN par : Pn : Un = 2 – 1 Supposons cette propriété vrai pour un certain entier n . n n+1 On a alors Un+1 = 2 Un + 1 = 2(2 – 1) + 1 = 2 – 1 càd Pn + 1. P est héréditaire et comme elle est initialisée elle est finalement vrai pour tout n  0

Axiome : (Propriété admise au départ d’une théorie) Soit Pn une propriété dépendant de n  IN. 1ère étape : on démontre que la propriété est vraie pour n = 0 ou n = 1 (respectivement pour n 0) 2ème étape : on suppose la propriété vraie au rang n 3ème étape : on en déduit que la propriété est vraie au rang n+1 Conclusion : la propriété est vraie pour tout n  IN (respectivement pour tout n ≥ n0).

Exemples : Exemple 1 : Soit (un) la suite définie par : un = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1). u1 = 1 ; u2 = 1 + 3 = 4 ; u3 = 1 + 3 + 5 = 9 ; u4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 Conjecture un = n2. Exemple 2 : 1 Soit f la fonction définie par f(x) = x pour tout x ≠ 0. 1 2 3x2 f '(x) = - 2 ; f ''(x) = 3 ; f '''(x) = - 4 . x x x n! Conjecture : f n(x) = (-1)n x n+1 . x n n 2 n² (n + 1)² 3 Démontrez que  k =   k =   4 k=1  k=1 Démontrer par récurrence que

Exemple 3 :

Exemple 4 : (dans le DM1)

 p2 p=1 n

=

n(n+1)(2n+1) . 6

A faire : 38 et 46 p 20-21

TS  Suites

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I Définition
Définition
Une suite est une fonction numérique définie sur l'ensemble des entiers naturels IN, ou sur l'ensemble des entiers supérieurs à un certain entier naturel n0. L'image d'un entier naturel n est notée u(n) ou un (c'est la notation indicielle). n est souvent appelé l'indice ou le rang du terme un. La suite est notée (un) n IN ou (un) n  n .
0

Exemples n n2 + 1 Cette suite est définie par la donnée