Complément sur les suites : Récurrence, suites récurrentes du type

un +1 = f (un ) …

Animations liées sur le site : Représentation graphique des termes d’une suite : cette applet java permet de représenter entre autre, les termes des suites récurrentes de la forme un +1 = f (un ) avec la fonction f de votre choix, ainsi que le terme initial voulu. Très pratique ! http://mathemitec.free.fr/animations/comprendre/suite-un/suite_ts.php Le cours complet illustré : vous retrouverez notamment les suites récurrentes, les suites adjacentes, des exemples classiques et bien illustrés… http://mathemitec.free.fr/animations/comprendre/suites-base/index.php

-1D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php Terminale S : Cours – Compléments sur les suites

Position du problème
De nombreuses questions (simples) relatives aux suites restent encore sans réponse. 1  u = u + 1 . Considérons par exemple la suite définie par  n +1 2 n u0 = −1  Représentons graphiquement les premiers termes de la suite (représentation tracée avec une animation du site) Il semble donc que cette suite soit croissante, majorée (par 2) et même convergente.
→ Pourtant, lorsqu’on essaye les méthodes classiques pour démontrer ces deux premiers points, on bloque. Par exemple : 1 1 un +1 − un = un + 1 − un = 1 − un et nous ne 2 2 sommes pas capables de conclure sur le signe de cette quantité.

u0

u1

u2

u3

→ Ensuite, même en supposant que cette suite est croissante et majorée, nous savons certes qu’elle converge, mais avec nos outils actuels, nous sommes incapables de prouver qu’elle converge vers 2.
Ce chapitre a pour objectifs de préciser le comportement des suites de la forme un +1 = f ( un )

→ en mettant en place un nouveau type de raisonnement, le raisonnement par récurrence, qui nous permettra par exemple d’étudier la monotonie d’une suite, son caractère borné… → en apportant un nouvel outil sur la construction de la limite d’une suite convergente.
Nous